2.4.3 Стабильное население.

Нас будет интересовать возрастные структуры населения некоторой страны, причем как мужского, так и женского.

Под возрастной структурой населения в некотором году t понимается его распределение по возрасту в начале года. Задается она вектором , где- численность населения в возрасте до 1 года,- от 1 до 2 лет и т.д.- так называемый предельный возраст. В дальнейшем будем называтьнаселением в возрастелет.

число совпадает с общей численностью населения.

- доля населения в возрасте лет во всем населении.

возрастная структура женского населения - ,

а мужского –

Опишем движение населения во времени (сначала женское).

Женщины в возрасте лет в течение года стареют на год и переходят в возрастну­ю группу, при этом некоторая часть их умирает. Так что если- численность женщин в возрастелет в году, то численностьвозрастной группыв годуравна:

(1)

число называют коэффициентом дожития. Оно совпадает с вероятно­стью того, что женщина из группыдоживет до начала следующего года. Предполагается, что женщины возраста, если такие имеются, не доживут до следующего года. Заметим, что равенство (1) показывает, что мы пренебрегли миграцией населения.

Введем коэффициенты рождаемости: ,- совпадающие с веро­ятностью того, что женщина в возрастелет родит в течение года девочку, дожившую до начала следующего года. Понятно, чтодля достаточно малых и достаточно больших. Общая численность девочек, родившихся в данном году и доживших до начала следующего года, равна.

Таким образом, возрастная структура женского населения перейдет в следующем году в возрастную структуру:,

при условии, что нет миграции. Рассмотрим

- матрица Лесли,

Чтобы описать движение мужского населения, надо ввести по аналогии коэффициенты дожития для мужчин ,. Заметим, что обычносущественно отличается от:, т.е. мужская смертность выше. Рождаемость мальчиков определяется так же, как и рождаемость девочек по возрасту матери:,- вероятность того, что женщина в возрастелет родит в течение года мальчика, дожившего до конца года (обычно). Тогда в течение года возрастная структурамужского населения перейдет в:

Таким образом, движение женского населения можно изучать независимо от мужского, в то время как движение мужского населения определяется женским. Поэтому в дальнейшем ограничимся лишь изучением движения женского населения. Более точное описание ситуации требует совместного рассмотрения и мужского, и женского населения. Для этого надо ввести оператор заключения браков. Это существенно усложняет модель, хотя качественный характер выводов изменяется незначительно.

Набор коэффициентов рождаемости и дожития режимом воспроизводства населения. Этот режим может быть записан в виде матрицы Лесли . Обычно он меняется во времени крайне медленно, если не считать эпохи войн, революций и других потрясений. Поэтому в течение длительного промежутка времени его можно считать постоянным.

Основную роль при исследовании движения населения с данным режимом играют собственное число и собственный вектор матрицы Лесли.- собственное число, если существует вектор, такой, что,- собственный вектор.

Оказывается, матрица имеет одно и только одно- собственное число, которому отвечает собственный векторс неотрицательными компонентами. Этот вектор единственен с точностью до положительного множителя. Последнее означает, что если,- собственные векторы с указанными свойствами, то,.

Понятно, что общая численность женского населения изменяется при переходе от одного собственного вектора к другому. В то же время доля населения в возрастелетне зависит от выбора конкретного собственного вектора, поскольку все они пропорциональны.

Таким образом, все собственные векторы задают одну и ту же относительную структуру населения, которая указывает доли населения любого возраста.

Пусть структура населения в некотором базовом году задается каким-либо собственным вектором, тогда в году,

при и т.д.

Как мы видим, движение населения во времени выразится последовательностью При этом относительная структура населения не меняется с течением времени, она стабильна. В связи с этим, население, описываемое собственным вектором матрицы Лесли, называется стабильным. Численность такого населения меняется по геометрической прогрессии с показателем, который называется темпом роста населения.