Логарифмически-нормальное распределение
Плотность распределения имеет одно максимальное значение и несимметрично. График плотности логарифмически-нормального распределения показан на рисунке 2.8 а.
В списке распределений вероятностного калькулятора выберите Log-Normal(Логнормальное распределение), рисунок 2.8 б).
а) б)
Рисунок 2.8 – Логарифмически-нормальное распределение в вероятностном калькуляторе: а) задание; б) плотность распределения
Задания для выполнения
С помощью вероятностного калькулятора вычислите вероятности при заданном среднем и стандартном отклонении (таблица 2.1).
Дайте объяснение полученным результатам.
Таблица 2.1 – Задание для выполнения расчетов
|
№ варианта |
Среднее |
Стандартное отклонение |
Минимум |
Максимум |
|
1 |
10 |
8 |
8 |
12 |
|
2 |
10 |
5 |
8 |
12 |
|
3 |
10 |
3 |
8 |
12 |
|
4 |
10 |
1 |
8 |
12 |
|
5 |
10 |
0,5 |
8 |
12 |
|
6 |
20 |
5 |
8 |
12 |
|
7 |
15 |
5 |
8 |
12 |
|
8 |
10 |
5 |
8 |
12 |
|
9 |
5 |
5 |
8 |
12 |
|
10 |
1 |
5 |
8 |
12 |
Распределение параметров выборки
Цель работы:научиться работе с вероятностным калькулятором в программном продуктеStatistica 6на примерах распределений:F-распределениеФишера,t-распределениеСтьюдента и распределениеχ-квадрат.
Краткие теоретические сведения
F-распределениевозникает в регрессионном, дисперсионном и дискриминантном анализе, а также в других видах многомерного анализа данных. Далее оно будет неоднократно встречаться в таблицах вывода системыStatistica 6.
Случайная величина, имеющая F-распределениес парой степеней свободыm,n, определяется как отношение двух независимых случайных величин, имеющих распределениеχ-квадрат (хи-квадрат) со степенями свободыmиnс умножением на нормировочный сомножительn/m.
F-распределениесосредоточено на положительной полуоси. Это распределение в отличие от нормального несимметрично. Покажем, как построить графикF-распределенияи вычислить его процентные точки.
t-распределениеважно в тех случаях, когда рассматриваются оценки среднего и неизвестна дисперсия выборки. В этом случае используют выборочную дисперсию иt-распределение.
t-распределениевозникает в таблицах вывода регрессионного анализа. Это одно из важнейших распределений, наряду с нормальным и распределениемχ-квадрат (хи-квадрат).
t-распределениесk-степенями свободы сосредоточено на всей действительной оси, симметрично относительно нуля. Среднееt-распределенияравно нулю, дисперсия равна k/(k-2).
Случайная величина, имеющая распределение χ-квадрат, определяется как сумма квадратовkнезависимых стандартных нормальных величин. Нормальные случайные величины – это величины, имеющие нормальное распределение. Числоkв определенииχ-квадратаназывается числом степеней свободы. В частном случае, когдаk = l случайная величинаχ-квадратравна квадрату стандартной нормальной величины. Итак, это распределение имеет только один параметр – число степеней свободы, являющийся целым положительным числом.
F-распределение Фишера
В списке распределений вероятностного калькулятора выберите F (Fisher) (F-распределение) (рисунок 3.1 а).
Задайте в поле df1(степень свободы 1) значение 10, в полеdf2(степень свободы 2) — значение 11. Пометьте опциюCreate Graph (Создать график).
В поле рзадайте 0,5. Нажав кнопкуCompute (Вычислить), на экране вы увидите следующий график (рисунок 3.1 б).
а) б)
Рисунок 3.1 – F-распределение в вероятностном калькуляторе: а) задание; б) плотность и функция F-распределения со степенями свободы 10, 11
t-распределение Стьюдента
В списке распределений вероятностного калькулятора выберите t (Student)(t-распределение Стьюдента) (рисунок 3.2 а).
В строке df задайте 5 – число степеней свободы. Пометьте опцию Create Graph (Создать график).
В поле рзадайте 0,5. Нажмите кнопкуCompute (Вычислить), на экране вы увидите следующий график (рисунок 3.2 б).
При больших степенях свободы (больших 30) t-распределениепрактически совпадает со стандартным нормальным распределением.
Плотность t-распределениядеформируется при возрастании числа степеней свободы следующим образом: пик увеличивается, хвосты более круто идут к нулю, кажется, как будто плотность сжимается с боков.
a) б)
Рисунок 3.2 – t-распределения Стьюдента в вероятностном калькуляторе: a) задание; б) плотность и функция t-распределения Стьюдента с 5 степенями свободы
В такой деформации плотности легко убедиться с помощью вероятностного калькулятора. Задайте в поле df (степень свободы) значение 50. Нажав кнопкуCompute (Вычислить), на экране вы увидите следующий график (рисунок 3.3).
Рисунок 3.3 – Плотность и функция распределения Стьюдента с 50 степенями свободы
Сравнив график плотности распределения Стьюдентас большим числом степеней свободы, например 50, и график плотности стандартного нормального распределения, вы убедитесь, что они очень похожи.