Элементарные функции комплексного переменного

 Функции комплексной переменной определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:

 (1.4)

(1.5)(1.6)(1.7)

 

(1.8)

Из определения функций (10.4)-(10.8) следуют формулы, связывающие их:

 (1.9)

 (1.10)

 (1.11)

 (1.12)

 

 (1.13)

 

 (1.14)

 

 (1.15)

 (1.16)

Элементарные функции (1.4) – (1.8) являются однозначными и непрерывными на всей комплексной области Z.

2. Показательная функция совпадает с обычной функцией для нее справедлива теорема сложения 

Функция периодическая с чисто мнимым основным периодом

Тригонометрические функции для действительных совпадает с обычным синусом и косинусом, периодичны с действительным периодом - нечетная, - четная функция; подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:

и т.п.

Функция называется гиперболическим синусом; функция называется гиперболическим конусом. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции формулами (1.15,1.16).

С помощью функций (1.4) - (1.8) вводятся другие элементарные функции. 3 Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:

если: 

Для нее справедливо свойство логарифмов:

В частности, полагая , получаем

(1.17)

В формуле (1.17) символ может обозначать любое значение аргумента, поэтому каждое комплексное число имеет бесчисленное множество логарифмов.

Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается, как Многозначная логарифмическая функция обозначается

 (1.18)

 

4. Общая показательная функция:

 (1.19)

Эта функция представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функции, отличающихся множителями где k- целое число. Главное значение этой многозначной функции равно 

где - произвольное комплексное число.

Полагая, , получаем 

 

 (1.20)

где - произвольное комплексное число.

Полагая , получаем 

 

 (1.21)

где k – целое число. При функция всегда имеет бесконечно много значений.

Если , то получаем многозначную функцию - корень n-й степени 

При имеем частный случай однозначной степенной функции 

К основным элементарным функциям комплексной переменной относится также дробно-рациональная функция и её частные случаи.

Дробно-рациональная функция:

 

 (1.22)

Частные случаи этой функции:

а)линейная функция - комплексные числа

б)степенная функция 

в)дробно-линейная функция 

Производные функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Пусть функция =u(x,y)+iv(x,y) определена в окрестности точки z = x+iy. Если переменной z придать приращение z=x+iy, то функция получит приращение

= (z+z)–=u(x+x, y+y)+

+ iv(x+x, y+y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+x, y+y) –

– u(x,y)] + i [v(x+x, y+y) - v(x,y)] =

=u(x,y) + iv(x,y).

Определение. Если существует предел

= ,

то этот предел называется производной от функции в точке zи обозначается черезf(z) или. Таким образом, по определению,

==. (1.37)

Если функция имеет производную в точке z, то говорят, что функция дифференцируема в точкеz. Очевидно, для дифференцируемости функции необходимо, чтобы функцииu(x,y) иv(x,y) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производнойf(z). Например, для функцииw==x–iyфункцииu(x,y)=x

и v(x,y)=–yдифференцируемы во всех точках M(x,y), но предел отношенияприx0,y0 не существует, так как, еслиy = 0,x0, тоw/z = 1,

если же x= 0,y0, тоw/z= -1.

Единого предела не существует. Это означает, что функция

w= не имеет производную ни в одной точкеz. Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема.Пусть функцииu(x,y) иv(x,y) дифферен-цируемы в точке M(x,y). Тогда для того, чтобы функция

= u(x,y) + iv(x,y)

имела производную в точке z=x+iy, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

. (1.38)

Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.

Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Лорана.

степенным рядом называется ряд вида

где аС_z и {a_n} C_z.

Известно, что областью сходимости степенного ряда является круг {z: |z-a|<R}, радиус R которого можно определить по формуле

или по формуле

 если  существует (конечный или равный + ). Во всех внутренних точках круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно, во внешних точках круга сходимости он расходится.

Степенной ряд может сходиться или расходиться во всех или в некоторых точках окружности {z: |z–a|=R}.

Замечание. Степенной ряд может сходиться только в точке z=a, которую в этом случае считают кругом сходимости с радиусом R=0. Степенной ряд может сходится во всех точках плоскости C_z, которую в этом случае считают кругом сходимости с радиусом R=+

Внутри круга сходимости сумма степенного ряда является аналитической и однозначной функцией, причем на границе круга сходимости есть по крайней мере одна точка, в которой сумма ряда не является аналитической. Поэтому иногда радиус сходимости степенного ряда

легче найти как расстояние от точки z=a до ближайшей к ней точки, в которой функция f (z) не является аналитической.

Степенной ряд

в круге сходимости радиуса R можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать, т. е.

 и 

При этом радиусы сходимости полученных рядов будут также равны R.

Если функция w=f (z) является аналитической и однозначной в круге {z: |z-a|<R}, то она разлагается в этом круге в степенной ряд

который называется рядом Тейлора для функции f (z).

При нахождении ряда Тейлора для функции f (z), как правило, затруднительно вычислить производные f ⁽ⁿ⁾(а), поэтому рекомендуется пользоваться следующими стандартными разложениями функций в окрестностях точки z=0:

 при zC_z;

при zC_z;

при zC_z;;

 при zC_z;;

при zC_z;;

при |z|<1.

Если функция w=f (z) является аналитической и однозначной в кольце {z: r<|z-a|<R}, где аС_z; 0£ r<Rто в указанном кольце справедливо разложение в ряд

,

где  при n=0; ± 1; ± 2;... и r<r <R.

Этот ряд называется рядом Лорана для функции f (z), а ряды

 и  с

оответственно главной и правильной частями ряда Лорана.

На практике при нахождении ряда Лорана для функции f (z) используют приведенные ранее стандартные разложения элементарных функций в ряд Тейлора, применяя специальные приемы: известные формулы, дифференцирование и интегрирование стандартных разложений, представление рациональных функций в виде суммы простейших дробей.

Интеграл по комплексному переменному. Теорема Коши. Формула Коши.

Вычеты и их применение.

Вычеты и их применение 

      - вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z₀:

(в круге  нет других особых точек).

     Если  то

     Вычисление вычетов 

     1. z₀ - устранимая особая точка:

     2. z₀ - полюс:

     а) z₀ - простой полюс:

В частности, если  то

     б) z₀ - полюс порядка m:

(формула также верна, если z₀ - полюс порядка не выше m).

     3. z₀ - существенно особая точка. Вычет находится по разложению в ряд Лорана.