шпоры по высшей математике 1 семестр 1 курс

31. Бесконечно-малые функции.

Бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция α(x) – бесконечно-малая при x→a, если lim α(x) = 0.

Терема об отношении 2 бесконечно-малых функций

Предел отношения 2 бесконечно-малых функций = пределу отношения 2 других бесконечно-малых функций, соотв. им пропорционально.

α₁(x) α₂(x) и β ₁(x) β ₂(x)

=

32. Замечательные пределы.

1) =1 2)

Раскрытие неопределённостей

, можно раскрыть используя правило Лапиталя; разделяя каждый элемент на x в большей степени.

) можно раскрыть используя 2 замечательный предел.

( сначала при помощи различных преобразований приводим к , , и раскрываем.

33. Непрерывность функции в точке

Функция называется непрерывной в точке, если: функция определена в точке и ее окрестности; существует конечный предел функции в точке; этот предел равен значению функции в точке.

Свойства непрерывных функций

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Если функция непрерывна и справа и слева, то она непрерывна в этой точке. 

Если функция y=f(x) находится на отрезке непрерывна в точке a справа.

Если функция y=f(x) находится на отрезке непрерывна в точке a слева.

34. Непрерывность фун. на интервале

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Основные теоремы непрерывных функций

1) Пусть заданы две функции f(x) и g(x) , непрерывные на некотором множестве X. Сумма, произведение и частное (при условии, что g(x) ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

2) Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

3) Пусть функция z=(x) непрерывна в точке x₀, а функция y=f(x) непрерывна в точке z₀, где z₀=(x₀), тогда сложная функция y=f((x)) является непрерывной в точке x₀.

35. Производная функции

Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если функция имеет производную в точке x₀, то в этой точке она непрерывна. Производная в точке 0 не существует.

Геометрический и механический смысл производной

1) Геометрический смысл: производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀.

2) Механический смысл: скорость – это производная координаты по времени:

36. Основные правила дифференцирования

1) Пусть u(x) и v(x) – дифференциальные функции в точке x, тогда их произведение и частное также дифференцируемы в точке x.

2) Пусть сложная функция y=f(z), где z=(x) дифф-мы в точке z, тогда y=f((x)) дифф-ма в точке x.

3) Постоянный множитель c можно выносить за знак производной.

4) Производная от суммы (разности) функции = сумме (разности) производных.

37. Производная сложной и обратной функции

1) Пусть сложная функция y=f(z), где z=(x) дифф-мы в точке z, тогда y=f((x)) дифф-ма в точке x. Производную сложной функции можно найти по формуле: y'=y'_z*z'_x.

2) Если функции y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции находится по формуле: g'(x)=1/f '(x).

38. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически

1) Чтобы найти производную функции, заданной неявно (когда слева и справа есть переменная y) каким-либо уравнением необходимо взять производную из обоих частей уравнения, затем переносим все y' влево и подставляем вместо y исходное выражение.

2) Пусть y=y(x) задана параметрически:

, тогда чтобы продифференцировать эту функцию необходимо воспользоваться формулой: y'_x=

39. Дифференциал функции и её геометрический смысл

1) Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда превращение можно представить в виде

y=f '(x₀)*x+0(x)

y f '(x₀)*x при x→0

f '(x₀)*x в разложении y называется главной линейной относительно х частью превращения функции.

Главная линейная относительно х функция наз. дифф-ой функцией и обозначается dy. dy=y'*dx. y'=

2) Дифференциал функции y=f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение х.

40. Производные высших порядков

Производная от производной 1-го порядка называется производной 2-го порядка. y'=f '(x); y''=(y')'; yⁿ=(y^n-1)'

Дифференцируемость функции

Пусть функция y=f(x) дифф-ма в точке x₀, тогда превращение можно представить в виде y=f '(x₀)*x+0(x)

y f '(x₀)*x при x→0

f '(x₀)*x в разложении y называется главной линейной относительно х частью превращения функции.

Главная линейная относительно х функция наз. дифф-ой функцией и обозначается dy.

1 порядка) dy=y'*dx. y'=

высших порядков) d²y=y''dx²; d³y=y'''dx³

41. Теорема Ролля и Лагранжа

1) Пусть f(x) удовлетворяет условиям: определена и непрерывна на отрезке [a,b]; дифф-ма на (a,b,); Значения функции на концах отрезков совпадают f(a)=f(b). Тогда существует точка c=(a,b) такая что f'(x)=0

2) Пусть f(x) удовлетворяет условиям: определена и непрерывна на отрезке [a,b]; дифф-ма на (a,b,). Тогда существует точка c такая, что =f '(c)

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется при вычислении предела функции и относится только для раскрытия неопределённостей: , Такие пределы вычисляются по формуле: =

42. Условие монотонности функции.

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда если: 1) f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – не убывает; 2) f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – не возрастает;

Следовательно: если f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – возрастает; а f(x)0 - убывает

Необходимое условие экстремума

Пусть x₀ – точка локального экстремума функции f(x), тогда f '(x) обращается в 0 или не существует.

Критические точки - те, которые не входят в обл. определения (чаще всего это точки разрыва). Стационарные-точки в которых значение производной равно нулю (точки экстремума)

43. Экстремум фун. одной переменной

Пусть у нас есть функция y=f(x) и точка x₀ – точка локального max (min) если существует x принадлежащий дельта-окрестности x₀, то f(x₀)f(x) max; f(x₀)f(x) min

Локальные max и min – локальные экстремумы. x₀ – точка локального максимума если f(x₀)= максимальному значению f(x).

Достаточные условия экстремума

1) Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ и имеет конечную производную f'(x). Если же при переходе через точку x₀ производная не меняет знак, то в точке x₀ нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке x₀, причем

df(x₀) = 0, а   d²f(x₀) > 0     (d²f(x₀) < 0 ).

Тогда точка x₀ есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x).

3)  Пусть функция f(x) имеет в точке х0 производные f '(x₀) и f''(x₀), причем f'(x₀) = 0, а   f''(x₀) > 0     (f''(x₀) < 0 ).

Тогда точка x₀ есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x).

44. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График функции y=f(x) называется вогнутым на (a,b) если он расположен ниже касательной, проведённой к графику функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на (a,b) если он расположен выше касательной, проведённой к графику функции.

Точка перегиба функции – это точка, в которой функция непрерывна и её график имеет касательную (которая может быть параллельна оси) и при переходе через (x) функция меняет направление выпуклости.

45. Асимптоты графика функции.

Асимптота – значение, к которому стремится функция. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой, если 1 из односторонних пределов в этой точке = .

Прямая называется горизонтальной асимптотой функции, если предел этой функции при x→ = числу.

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы.

Схема исследования функции

1) Находим область определения функции.

2) Определяем чётность\нечётность функции и её периодичность.

3) Находим точки пересечения с осями Ox и Oy (приравниваем x=0 и y=0)

4) Исследуем функцию на наличие асимптот

5) Определяем y' и её критические точки (y'=0)

6) Находим y'' и её критические точки.

7) Результаты заносим в таблицу.

8) С помощью таблицы строим график функции.