контр.раб. выс.мат / контрольная высш.мат. вариант 26
.doc|
i |
(ai-1;ai) |
xi |
ni |
ni/n |
xini |
|
|
|
pi |
|
ni |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
1 |
(659,7;662,3) |
661 |
2 |
0,021 |
1322 |
873842 |
-2,85 |
-0,4978 |
0,0124 |
6,0135 |
6 |
0,0000 |
|
2 |
(662,3;664,9) |
663,6 |
4 |
0,042 |
2654,4 |
1761460 |
-2,18 |
-0,4854 |
0,0509 |
|||
|
3 |
(664,9;667,5) |
666,2 |
12 |
0,126 |
7994,4 |
5325869 |
-1,51 |
-0,4345 |
0,1322 |
12,559 |
12 |
0,0249 |
|
4 |
(667,5;670,1) |
668,8 |
23 |
0,242 |
15382,4 |
10287749 |
-0,85 |
-0,3023 |
0,2309 |
21,9355 |
23 |
0,0517 |
|
5 |
(670,1;672,7) |
671,4 |
22 |
0,232 |
14770,8 |
9917115 |
-0,18 |
-0,0714 |
0,2593 |
24,6335 |
22 |
0,2815 |
|
6 |
(672,7;675,3) |
674 |
24 |
0,253 |
16176 |
10902624 |
0,49 |
0,1879 |
0,1870 |
17,765 |
24 |
2,1883 |
|
7 |
(675,3;677,9) |
676,6 |
5 |
0,053 |
3383 |
2288938 |
1,15 |
0,3749 |
0,0907 |
11,8845 |
8 |
1,2697 |
|
8 |
(677,9;680,5) |
679,2 |
2 |
0,021 |
1358,4 |
922625,3 |
1,82 |
0,4656 |
0,0280 |
|||
|
9 |
(680,5;683,1) |
681,8 |
1 |
0,010 |
681,8 |
464851,2 |
2,49 |
0,4936 |
0,0064 |
|||
|
10 |
683,1 |
- |
- |
- |
- |
- |
3,15 |
0,5 |
- |
- |
- |
- |
|
Всего |
- |
95 |
1 |
63723,2 |
42745074 |
- |
- |
0,9978 |
94,791 |
95 |
3,816 |
|
На основании полученных данных заполняем столбцы 5,6,7 таблицы 2.
Для построения гистограммы распределения составим расчётную таблицу 3.
Таблица 3
|
(ai-1;ai) |
ni/(nh) |
|
(659,7;662,3) |
0,0081 |
|
(662,3;664,9) |
0,0162 |
|
(664,9;667,5) |
0,0486 |
|
(667,5;670,1) |
0,0931 |
|
(670,1;672,7) |
0,0891 |
|
(672,7;675,3) |
0,0972 |
|
(675,3;677,9) |
0,0202 |
|
(677,9;680,5) |
0,0081 |
|
(680,5;683,1) |
0,0040 |
Строим гистограмму распределения.
n
i/(nh)
0,1
0,05
0 659,7 683,1 x
Эмпирическую функцию распределения зададим таблично, исходя из данных столбца 5 по правилу накопленных частот.
Таблица 4
|
ai |
659,7 |
662,3 |
664,9 |
667,5 |
670,1 |
672,7 |
675,3 |
677,9 |
680,5 |
683,1 |
|
F(ai) |
0 |
0,021 |
0,063 |
0,189 |
0,431 |
0,663 |
0,916 |
0,969 |
0,990 |
1 |
Строим график функции эмпирической функции распределения.
Находим числовые характеристики выборки:
В пользу того, что СВ Х имеет нормальное распределение, говорят следующие факты:
-
полигон частот напоминает кривую Гаусса;
-
оценивая теоретическое математическое ожидание величиной
,
а теоретическое среднеквадратическое
отклонение величиной
,
получим:
Исходные данные
попадают в этот интервал, то есть
подтверждается «правило
».
В силу этого при уровне значимости
выдвинем и проверим гипотезу о том, что
рассматриваемая СВ Х имеет нормальное
распределение с функцией плотности
распределения
с
.
Теоретическая
функция распределения:
Заполняем столбцы
8-13 таблицы 2, где
В таблице 2 объединены первые два и последние три интервала, так как частота в каждом интервале должна быть не меньше пяти.
Получили:
.
Число интервалов
с учётом объединения k=6,
число параметров распределения r=2.
Тогда число степеней свободы:
.
По таблице
распределения Пирсона при
находим:
.
Так как
,
то с 95-% уверенностью можно утверждать,
что признак Х распределён нормально и
его функция плотности имеет вид
с
.
Находим вероятность
попадания СВ Х в интервал
.
Используем формулу:
Получаем:
Задача № 7.26
|
Y X |
12 |
15 |
16 |
21 |
24 |
27 |
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
10 |
9 |
3 |
|
|
|
8 |
|
6 |
35 |
5 |
1 |
|
|
11 |
|
|
4 |
8 |
3 |
|
|
14 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
Решение
Составляем «расширенную» таблицу.
|
Y X |
12 |
15 |
16 |
21 |
24 |
27 |
mx |
xmx |
x2mx |
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
5 |
10 |
20 |
13,8 |
|
5 |
|
10 |
9 |
3 |
|
|
22 |
110 |
550 |
16,2 |
|
8 |
|
6 |
35 |
5 |
1 |
|
47 |
376 |
3008 |
16,6 |
|
11 |
|
|
4 |
8 |
3 |
|
15 |
165 |
1815 |
20,3 |
|
14 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
7 |
98 |
1372 |
25,3 |
|
my |
2 |
19 |
48 |
17 |
6 |
4 |
n=96 |
759 |
6765 |
|
|
ymy |
24 |
285 |
768 |
357 |
144 |
108 |
1686 |
|
|
|
|
y2my |
288 |
4275 |
12288 |
7497 |
3456 |
2916 |
30720 |
|
|
|
|
|
2 |
5,5 |
7,7 |
9,2 |
11,5 |
14 |
|
|
|
|
Здесь:
Находим числовые характеристики выборки:
Также найдём сумму:
Выборочный коэффициент корреляции:
Близость rв к единице говорит о достаточно тесной связи признаков X и Y.
Вычислим статистику:
При
по таблице распределения Стьюдента
находим для двусторонней критической
области:
Так как
,
то с 99-% уверенностью можно говорить о
существенности тесной связи между Х и
Y.
Уравнение прямой регрессии:
- Y
на Х:
- Х на Y:
Строим линии (1) и (2).
Небольшой угол между (1) и (2) также указывает на тесную связь между Х и Y. Далее вычисляем теоретические значения по (1) и (2) и условные средние (из «расширенной» таблицы) и находим отклонения между ними.
|
x |
|
|
|
|
2 |
13,8 |
12,5 |
1,3 |
|
5 |
16,2 |
15,1 |
1,1 |
|
8 |
16,6 |
17,6 |
1,0 |
|
11 |
20,3 |
20,2 |
0,1 |
|
14 |
25,3 |
22,7 |
2,6 |
|
y |
|
|
|
|
12 |
2 |
4,7 |
2,7 |
|
15 |
5,5 |
6,4 |
0,9 |
|
16 |
7,7 |
7,0 |
0,7 |
|
21 |
9,2 |
9,9 |
0,7 |
|
24 |
11,5 |
11,7 |
0,2 |
|
27 |
14 |
13,4 |
0,6 |
Малость отклонений теоретических и экспериментальных данных также указывает на хорошую согласованность теоретических линий (1) и (2) и экспериментальных данных.
Литература
1) Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб.: «Лань», 1998.
2) Булдык Г. М. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1989.