Добавил:

Spyleks Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Реферат - Функции от матриц, матричная экспонента, метод Эйлера.docx

Скачиваний:

Добавлен:

27.06.2018

Размер:

413.19 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Санкт-Петербургский политехнический университет

Петра Великого

Институт компьютерных наук и технологий

Высшая школа киберфизических систем и управления

Реферат

на тему: 1. Функции от матриц, матричная экспонента

2.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, явный метод Эйлера

по дисциплине: Вычислительная математика

Выполнил:

студент гр. з23532/1

________________/ Шпионов /

_{(И.
О. Фамилия)}

Проверил:

___________/Иванов /

_{(И.
О. Фамилия)}

Санкт-Петербург

2018г.

Содержание

ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА 3

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, явный метод Эйлера 24

Функции от матриц. Матричная экспонента

Рассматривается – квадратная матрица A, на которой конструируются функции от матрицы трех типов: скалярная функция от матрицы, векторная функция от матрицы и матричная функция от матрицы.

Определение 6.1 (О6.1). Скалярной функцией (СФМ) от квадратной матрицы A называется функция , которая реализует отображение: Rⁿ^×ⁿR, где R – множество действительных чисел.

Примерами скалярных функций от матрицы явля-ются: – детерми-нант, след, число обусловленности и норма матрицы соответственно, СФМ является квадратичная форма .

Определение 6.2 (О6.2). Векторной функцией от квадратной матрицы A называется функция , которая реализует отображение : Rⁿ^×ⁿRⁿ, где Rⁿ – n-мерное действительное пространство.

Примерами векторных функций от матрицы (ВФМ) являются такие, как – векторы, построенные на элементах алгебраических спектров соответственно собственных значений и сингулярных чисел матрицы A.

Матричная функция от матрицы (МФМ) реализует отображение : Rⁿ^×ⁿRⁿ^×ⁿ. Исходное определение матричной функции от матрицы задается следующим образом.

Определение 6.3 (О6.3). Пусть – скалярный степенной ряд (многочлен) относительно скалярной переменной .

. (6.1)

Тогда скалярный ряд порождает матричную функцию от матрицы в виде матричного ряда, если в представлении (6.1) для скалярную переменную заменить на матрицу так, что запишется в форме

(6.2)

Поставим задачу построения перехода от исходного представления МФМ в форме (6.2) к ее минимальному представлению, то есть к представлению матричным многочленом минимальной степени. Начнем решение этой задачи с теоремы Гамильтона–Кэли.

Утверждение 6.1 (У6.1) (Теорема Гамильтона–Кэли).

Квадратная - матрица с характеристическим полиномом

, обнуляет свой характеристический полином так, что выполняется матричное соотношение

, (6.3)

где 0 – нулевая матрица. □

Доказательство справедливости сформулированного утверждения осуществим для случая матрицы простой структуры, характеризующейся алгебраическим спектром вещественных и некратных собственных значений так, что на нем может быть сконструирована диагональная матрица . Если теперь воспользоваться матричным соотношением подобия (2.30), то матрицу можно представить в форме , что в свою очередь для (6.3) позволяет записать

■

Теорема Гамильтона-Кэли позволяет ввести следующие определения.

Определение 6.4 (О6.4). Многочлен (степенной ряд) относительно скалярной переменной называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы , если выполняется условие

(6.4)

Очевидно, аннулирующим многочленом матрицы в силу теоремы Гамильтона-Кэли является в первую очередь ее характеристический полином. Ясно, что существует множество аннулирующих многочленов матрицы степени большей, чем . Но могут существовать аннулирующие многочлены степени .

Определение 6.5 (О6.5). Аннулирующий многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом при , равным единице, называется минимальным многочленом матрицы .

Построим разложение многочлена (6.1), задающего матричную функцию от матрицы в форме (6.2), по модулю минимального многочлена матрицы , представив его выражением

, (6.5)

где многочлен имеет степень меньше степени минимального многочлена матрицы . Выражение (6.5) позволяет дать следующее определение матричной функции от матрицы.

Определение 6.6 (О6.6). Пусть многочлен относительно скалярной переменной допускает представление в форме (6.5), тогда матричная функция может быть задана в минимальной форме

. (6.6)

Заметим, что основной проблемой при задании матричной функции от матрицы в форме (6.6) является вычисление многочлена .

Основной способ вычисления многочлена в силу (6.5) опирается на то, что является остатком от деления на минимальный многочлен

. (6.7)

Если не является рядом или многочленом вида (6.1), а является произвольной аналитической функцией со значениями на алгебраическом спектре собственных значений матрицы , то формирование матричной функции от матрицы , опирается на представление в соответствии с интерполяционной схемой Лагранжа в виде мультипликативной структуры из двучленов или в соответствии с интерполяционной схемой Ньютона в виде ряда по степеням двучленов , число членов которых определяется минимальным многочленом Для реализации интерполяционной схемы Лагранжа, которая в случае размещения интерполяционных узлов на собственных значениях матрицы , приобретает название интерполяционной схемы Лагранжа–Сильвестра, требуется знание значений . Для реализации интерполяционной схемы Ньютона требуется знание значений .

Если минимальный многочлен степени в силу его определения записать в форме

, (6.8)

где , ,

то можно построить представление для функции в форме

=, (6.9)

где – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра или Ньютона, сформированный на алгебраическом спектре собственных значений матрицы , характеризующийся степенью меньшей степени минимального многочлен , а потому удовлетворяющий условиям (6.5), (6.7).

Рассмотрим случай, когда нули минимального многочлена (6.8) являются простыми, т.е. при , минимальный многочлен и характеристический совпадают так, что выполняются равенства и , тогда представление в форме интерполяционного многочлена Лагранжа–Сильвестра принимает вид

. (6.10)

Матричная функция от матрицы для случая некратных собственных значений матрицы принимает с использованием (6.10) вид

. (6.11)

Теперь допустим, что характеристический многочлен имеет кратные корни, но минимальный многочлен , являясь делителем, имеет только простые корни

В этом случае интерполяционный многочлен совпадает с точностью до замены числа членов на с представлением (6.10). Как следствие, матричная функция от матрицы принимает вид

. (6.12)

В заключение рассмотрим общий случай, когда минимальный многочлен матрицы имеет вид (6.8). Для случая кратных нулей минимального многочлена, то есть когда он имеет вид (6.8), представление в форме интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра, содержащего элементы интерполяционной схемы Ньютона, принимает вид

(6.13)

где для компактности записи использовано обозначение

Если ввести обозначение

, (6.14)

то выражение (6.13) для принимает вид

. (6.15)

Если воспользоваться представлением (6.15), то для МФМ можно записать

. (6.16)

Если матрица представляет собой жорданову клетку, порождаемую собственным значением кратности , так что матрица принимает вид

, (6.17)

то интерполяционный многочлен , так как минимальный многочлен матрицы (6.17) имеет вид , для функции полностью строится по интерполяционной схеме Ньютона и определяется выражением

. (6.18)

В силу (6.18), (6.5), (6.7) матричная функция от матрицы принимает вид

(6.19)

Рассмотрим теперь случай, когда матрица имеет вид , где – жорданова клетка, порождаемая собственным значением кратности , так что матрица принимает вид

, (6.20)

тогда в силу (6.18) и (6.19) матричная функция от матрицы (6.20) принимает вид

. (6.21)

Из определения матричной функции от матрицы во всех формах следуют ее основные свойства:

Свойство 6.1 (СВ6.1). Матричная функция от матрицы f() сохраняет геометрический спектр собственных векторов матрицы : , так что выполняется соотношение

, (6.22)

где – собственные значения матрицы f(), удовлетво-ряющие ее характеристическому уравнению и вычисляемые как функция на спектре собственных значений матрицы f().

Свойство 6.2 (СВ6.2). Матричная функция от матрицы f() сохраняет матричное отношение подобие в том смысле, что если матрицы и подобны, т.е., то

. (6.23)

Свойство 6.3 (СВ6.3). Матричная функция от матрицы f() сохраняет блочно-диагональную форму матрицы в том смысле, что, если , то

. (6.24)

Теперь распространим полученные результаты на задачи формирования способов аналитического представления и вычисления матричной экспоненты , параметризованной непрерывным временем , исходное задание которой в форме (6.1) порождено скалярной экспонентой или , записанной в форме бесконечного скалярного ряда

и принимает вид

. (6.25)

Следует заметить, что аналогичным образом может быть задана любая матричная функция от матрицы, для скалярного прототипа которой известен ряд ее представляющий.

В связи со сказанным и проведенными выше исследованиями, а также упомянутыми свойствами матричных функций от матриц, перечислим основные способы вычисления и построения аналитических представлений матричной экспоненты.

1. Численный способ, основанный на переходе от непрерывного времени к дискретному , выраженному в числе интервалов дискретности длительности так, что , в результате чего матричная экспонента получает представление

, (6.26)

где матрица при правильном выборе интервала дискретности задается конечным числом членов степенного матричного представления

. (6.27)

При чем, если , то с помощью (6.7) ряд (6.27) может быть приведен к минимальной форме т.е. матричному ряду степени , а в случае к матричному ряду степени Для вычисления интервала дискретности можно воспользоваться соотношением

. (6.28)

2. Способ диагонализации матрицы , именуемый иначе способом собственных значений. Способ применим к матрицам простой структуры так, что ее спектр собственных значений имеет вид , а потому оказывается справедливым матричное соотношение приведения подобия , где .

Тогда матричная экспонента принимает вид

, (6.29)

где

, (6.30)

то есть – матрица собственных векторов матрицы .

3. Способ, основанный на приведении к нормальной форме Жордана матрицы . Способ применим к матрицам , спектр собственных значений которых содержит кратных собственных значений кратности каждый. Для этого случая оказывается справедливым матричное соотношение приведения подобия , где

здесь ξ_i – собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению : ; (*)⁺ – операция псевдообращения матрицы (*).

В результате для матричной экспоненты можно записать

, где матричная экспонента имеет вид

. (6.31)

4. Способ преобразования Лапласа заключается в вычислении обратного преобразования Лапласа от резолвенты в форме

. (6.32)

Способ поддерживается алгоритмом Фаддеева–Леверье разложения резольвенты без ее обращения на основе представления

где – матрицы и коэффициенты характеристического уравнения вычисляются с помощью рекуррентной процедуры алгоритма Фаддеева–Леверье:

. (6.33)

С использованием матриц для резолвенты можно записать в форме

=. (6.34)

Матричная экспонента (6.32) с использованием (6.34) получает представление

. (6.35)

Запишем характеристический многочлен в форме

тогда становится справедливым представление

(6.36)

Тогда

. (6.37)

Подставляя (6.37) в (6.35) окончательно получим

5. Способ Лагранжа–Сильвестра. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра в зависимости от свойств минимального многочлена определяется выражениями (6.11),(6.12),(6.16) которые после замены функции на , на , на дают представлдение матричной экспоненты .

Решение вариантов задач

Задача 6.1. Найти матричную экспоненту способом, основанным на приведении к нормальной форме Жордана для матрицы ;

Решение. Характеристический многочлен матрицы имеет вид так, что собственное значение характеризуется кратностью В свою очередь, характеристическая матрица обладает нуль–пространством размерности , которому принадлежит один собственный вектор . В связи со сказанным нормальная форма Жордана матрицы принимает канонический вид (6.17) и записывается в форме . Матрица отношения подобия , так что , имеет представление

Тогда в силу свойства 6.2, а также представления (6.31) искомая матричная экспонента принимает вид

Раздел завершим рассмотрением кронекеровских (прямых) матричных структур, которые используются при решении матричных уравнений и описании процессов с перемножением переменных. Если компоненты кронекеровских матричных структур квадратные, то квадратной является и сама кронекеровская матричная структура, вычисление собственных значений которой осуществляется на основе свойств матричной функции от матрицы. Последнее обстоятельство стало определяющим для размещения приводимого материала в настоящем разделе.

Определение 6.7(О6.7). Кронекеровским произведением двух векторов и , , называется вектор , составленный из сепаратных произведений их элементов так, что становится справедливым представление

, . (6.38)

Примечание 6.1(П6.1). Очевидно, кроме кронекеровского произведения двух векторов может быть построено также произведение этих же векторов, причем, в общем случае эти произведения оказываются не коммутативными так, что , хотя наборы компонентов у них одинаковые.

Определение 6.8(О6.8). Если размерности векторов и одинаковы, то на их кронекеровском произведении может быть построено согласованное сужение этого произведения , задаваемого представлением:

. (6.39)

Примечание 6.2(П6.2). Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения может быть осуществлено с помощью оператора сужения с матрицей S вида

(6.40)

так, что становится справедливой запись:

. (6.41)

В качестве свойств кронекеровского произведения векторов рассмотрим правила дифференцирования кронекеровских векторных произведений по скалярному параметру, причем в основном сосредоточимся на случае, когда скалярным параметром является время.

Свойство 6.4(СВ6.4). Дифференцирование векторной кронекеровской структуры в виде их кронекеровского произведения осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультикативной форме так, что:

. (6.42)

Определение 6.9 (О6.9). Кронекеровским произведением прямоугольных матриц называется матрица размерности , составленная в силу соотношения

. (6.43)

Примечание 6.3(П6.3). Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает свойством коммутативности так, что

(6.44)

Определение 6.10 (О6.10). Кронекеровской суммой квадратных матриц и называется матрица , размерности , составленная в силу соотношения

, (6.45)

где - единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с матрицами А и В.

Примечание 6.4(П6.4). Для кронекеровской суммы квадратных матриц А и В, а в общем случае произвольного числа матриц, существует альтернативное название – преобразование Сильвестра матриц, что записывается в форме

. (6.46)

Для случая трех квадратных матриц А, В, С кронекеровская сумма или их преобразование Сильвестра будет записано в форме:

. (6.47)

Отметим, что как и кронекеровское произведение матриц кронекеровская сумма не коммутативна.

Кронекеровские матричные структуры, введенные выше, обладают следующими свойствами.

Свойство 6.5(СВ6.5). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровского произведения квадратных матриц и как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц:

.(6.48)

Свойство 6.6 (СВ6.6). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровской суммы квадратных матриц и как матричной функции от матрицы обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными суммами собственных значений кронекеровски суммируемых матриц:

. (6.49)

В (6.48) и (6.49) и собственные значения соответственно матриц А и В.

Сделаем следующее примечание к свойствам (СВ6.5) и (СВ6.6).

Примечание 6.5(П6.5). Алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений и в силу (6.48) совпадают, аналогичным свойством в силу (6.49) обладают и спектры кронекеровских сумм и .

Свойство 6.7(СВ6.7). Определитель кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет соотношению

, (6.50)

где и .

Свойство 6.8(СВ6.8). След кронекеровской суммы квадратных матриц удовлетворяет соотношению

, (6.51)

где и .

Свойство 6.9 (СВ6.9). Ранг кронекеровского произведения квадратных матриц удовлетворяет условию:

, (6.52)

где и .

Приведем без доказательств полезные свойства кронекеровских произведений произвольных матриц, в справедливости которых читатель может убедиться самостоятельно.

Свойство 6.10 (СВ6.10).

. (6.53)