Свойства

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой.

Основные геометрические характеристики

Рис.2

Если ширина треугольника Рёло равна a{\displaystyle a}, то его площадь равна(рис.2),

{\displaystyle S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},}периметр (рис.1) , {\displaystyle p=\pi a,}радиус вписанной окружности(рис.2), {\displaystyle r=\left(1-{{1} \over {\sqrt {3}}}\right)\cdot a,}а радиусописанной окружности(рис.2).

{\displaystyle R={{a} \over {\sqrt {3}}}}Симметрия

Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр. Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное) и совпадает с группой {\displaystyle D_{3}} симметрий правильного треугольника.

Построение циркулем

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины

Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,

• с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке;

• расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины {\displaystyle a}a не может превышать a {\displaystyle a};

• отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым;

• через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая;

• через каждую точку {\displaystyle P}P границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса {\displaystyle a}a, причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку {\displaystyle P}P, является касательной к этой окружности;

• радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины {\displaystyle a}a, не превышает a {\displaystyle a};

• по теореме Ханфрида Ленца о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника;

• треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, а также в правильный шестиугольник;

• по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины.

Экстремальные свойства Наименьшая площадь

Среди всех фигур постоянной ширины {\displaystyle a}у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год), Антон Майер (1935 год), Гарольд Эгглстон (1952 год), Абрам Безикович (1963 год), Дональд Чакериан (1966 год), Эванс Харрелл (2002 год) и другие математики.

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника {\displaystyle S_{\triangle }={{\sqrt {3}} \over {4}}\cdot a^{2}}и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°

{\displaystyle S_{seg}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\right)={\left({{\pi } \over {6}}-{{\sqrt {3}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}},}

то есть

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь

{\displaystyle S_{\bigcirc }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots }максимальна. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.