4. Устойчивость объектов и систем управления

Устойчивость – свойство объекта или системы, заключающееся в способности систему возвращаться в исходное состояние после исчезновения возмущений, приведших к отклонению системы от начального положения. Условием устойчивости линейного объекта является отрицательность действительных частей ХП объекта.

Характеристический полином дифференциального уравнения маятника легко записывается по виду дифференциального уравнения.

Для дифференциального уравнения ХП имеет вид

Вычислим корни полинома, используя следующий фрагмент кода:

Следовательно, объект устойчив, поскольку действительные части отрицательны. Мнимая часть корней значительно больше действительной части, что свидетельствует о колебательности объекта.

Если отсутствует сопротивление воздуха, то дифференциальное уравнение математического маятника запишется так:

.

ХП имеет вид : , а его корни = ±j; это означает, что объект находится на границе устойчивости (действительные части корней равны 0). Действительно, колебания математического маятника не затухают, но и не расходятся.

Рассмотрим систему автоматической стабилизации маятника (см. лаб. раб. 2).

На рис. 4.1 приведена модель груза, подвешенного на тросе длиной 10 м.

Рис. 4.1

Объект устойчив, но сильно колебателен: сильная колебательность объекта обусловлена большим значением отношения мнимой части к действительной (близко к 20).

Для успокоения колебаний в работе 2 предложен P-регулятор с коэффициентом 0.825. На рис. 4.2 представлена Simulink-модель с системой управления с P-регулятором.

Рис. 4.2

Запишем дифференциальное уравнение с системой.

Найдем корни ХП, используя следующий фрагмент кода:

Отношение мнимой части коней к действительной составляет 7.8, что отвечает меньшей колебательности.

Дифференциальное уравнение системы с PD-регулятором имеет вид

или

.

Модель системы представлена на рис. 4.3, а процессы стабилизации – на рис. 4.4.

Рис. 4.3

Рис. 4.4

Вывод: удалось достичь приемлемой колебательности.

5. Синтез систем управления.

В лабораторной работе №2 вручную подбирались значения коэффициентов настройки регуляторов:

- P-регулятора (),

- PD-регулятора (, )

Эти настройки регуляторов подбирались путем многократных компьютерных экспериментов.

Существуют аналитические методы синтеза регуляторов.

1. Операторный метод.

Известно (см. лаб. работу №4), что характер процессов определяется размещением корней характеристического полинома (ХП). Если корни комплексные, с большой колебательностью (отношением мнимых частей к действительным), то процессы имеют колебательный характер. Если корни действительные, то процессы имеют апериодический или монотонный характер.

Идея метода: назначаются «желаемые» корни, формируется ХП, после чего из тождества полиномов находится коэффициент регулятора.

Система с P-алгоритмом регулирования имеет следующее ДУ (см. лаб. работу 4).

(5.1)

где коэффициент сопротивления воздуха, равный 0.10.

ХП имеет вид:

(5.2)

Зададим «желаемые» корни ХП действительными отрицательными () и вычислим желаемый ХП:

. (5.3)

Потребуем равенства полиномов:

(5.4)

Полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях s. Подбором нельзя обеспечить равенство полиномов, поэтому выберем PD-регулятор. ХП системы равен:

. (5.5)

Потребуем равенства полиномов

, (5.6)

после чего получим два уравнения:

. (5.7)

На рис. 5.1 представлена модель Simulink с PD-регулятором. Проведем исследование СУ с PD-регулятором при различных желаемых корнях и н.у.

Рис. 5.1

На рисунке 5.2 представлен график сравнения двух разных пар действительных отрицательных корней ХП.

Рис. 5.2

Теперь будем увеличивать значение начального отклонения для системы с корнями . Наблюдаем результаты на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Рассмотрим корни , что соответствует системе с небольшой колебательностью (рис. 5.4).

Рис. 5.4

На рисунке 5.5 представлен график колебаний системы при разных н.у. и корнях ХП с большой колебательностью.

Рис. 5.5