Численное решение дифференциальных уравнений

Основой т.н. одношаговых численных методов решения дифференциальных уравнений являются следующие соотношения.

Дано дифференциальное уравнение

Значение , отстоящее насек. от начальной точкиопределяется точным соотношением

Для построения схем численного решения дифференциальных уравнений используются различные способы аппроксимации на интервале интегрирования.

Простейшая схема основана на использовании метода прямоугольников.

В этом случае получается схема, соответствующая методу Эйлера.

Повышение точности численного интегрирования может быть получено за счет аппроксимации правой части дифференциального уравнения трапецией.

Для определения площади трапеции необходимо знать значения на границах интервала интегрирования.

Для определения значения на правой границе удобно использовать метод Эйлера.

Полученная схема обычно называется модифицированным методом Эйлера.

Еще большая точность достигается за счет аппроксимации параболами или за счет интегрирования по методу Симпсона. Рассмотрим связь схемы Рунга-Кутты и формулы определения величины определенного интеграла с помощью формулы Симпсона.

Вычисления по схеме Рунга-Кутты имеет вид:

В приведенной выше схеме формула Симпсона присутствует в выражении для .

В соответствии с логикой Симпсона должно соответствовать значению интегрируемой функции на левой границе интервала интергрирования,- значению функции в середине интервала, а- значению функции на правой границе.

Соответствие своей роли очевидно. Вычисление значения интегрируемой функции в середине интервала становится понятным, если вспомнить модифицированный метод Эйлера. Соответствиесвоей роли подтверждается методом Эйлера.

В настоящее время численное решении дифуров выполняется с помощью программных инструментов. Одним из наиболее популярных является MATLAB.

Методы Эйлера не имеют реализации в виде MATLAB-функций, поэтому использование этих методов требует самостоятельного написания соответствующего программного кода. Более сложные методы численного решения дифуров реализованы в MATLAB в виде специальных функций солверов.

Выбор инструмента обычно выполняется методом проб и ошибок.

Поиск параметров кусочнопостоянной функции времени

В настоящем разделе рассматривается пример определения параметров кусочнопостоянной функции времени. Для численного решения дифференциальных уравнений используется метод Эйлера.

Для примера выбраны следующие параметры объекта управления: ,,. Параметр критерия качествапринят равным 1.

Вычисление интегральной части критерия качества выполняется путем решения дополнительного дифференциального уравнения:

При поиске параметров кусочнопостоянной функции времени координатами пространства поиска являются значения искомого управляющего воздействия в моменты времени 0.8, 1.6, 2.4 и 3.2 сек.

Программное обеспечение решения рассматриваемого примера состоит из двух файлов.

В первом файле (Main1.m) организовано обращение к функции FMINSEARCH, обеспечиващей поиск параметров управляющего воздействия.

Во втором файле (fun1.m) производится численное решение дифференциальных уравнений объекта управления методом Эйлера и вычисление величины критерия качества, соответствующего текущим значениям параметров управляющего воздействия.

Файл Main1.m

u0=[1 1 1 1];

[u,F]=fminsearch('fun1',u0)

Файл fun1.m

function j=fun1(u)

t=0;

tm=4;

t1=0.8;

t2=1.6;

t3=2.4;

t4=3.2;

dt=0.01;

x1=1;

x2=0;

j=0;

x1g=[];

uug=[];

tg=[];

while t<tm

if t<t1

uu=u(1);

elseif t<t2

uu=u(2);

elseif t<t3

uu=u(3);

else

uu=u(4);

end

uug=[uug uu];

dx1=x2*dt;

dx2=uu*dt;

dj=(x1^2+uu^2)*dt;

x1=x1+dx1;

x1g=[x1g x1];

x2=x2+dx2;

j=j+dj;

t=t+dt;

tg=[tg t];

end

j=j+20*x1^2;

plot(tg,x1g

Рис. 1 Управление как кусочнопостоянная функция времени

В результате поиска были определены следующие значения управляющего воздействия, соответствующие заданным моментам времени:

-0.56

0.037

0.22

0.13

Достигнуто значение критерия качества 1.488

Графики переходных процессов, соответствующие рассматриваемой функции времени показаны на рис. 1.