Вопрос 35. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Частной
производной по
от
функции
называется
предел отношения частного приращения
этой функции
по
к
приращению
,
когда последнее стремится к нулю:
.Частной
производной по
y
от функции z=f(x,y)
называется предел отношения частного
приращения этой функции
по
к
приращению
,
когда последнее стремится к нулю:
.
Пусть
задана функция
.
Если аргументу x
сообщить приращение
,
а аргументу y
– приращение
,
то функция
получит
приращение
,
которое называется полным
приращением функции
и определяется формулой:
.
Функция
,
полное приращение
которой
в данной точке может быть представлено
в виде суммы двух слагаемых (выражения,
линейного относительно
и
,
и величины бесконечно малой высшего
порядка относительно
):
,
где
и
стремятся
к нулю, когда
и
стремятся
к нулю (т.е. когда
),
называется дифференцируемой
в данной точке.
Линейная
(относительно
и
)
часть полного приращения функции
называется полным
дифференциалом
и обозначается dz:
,
где dx
и dy
– дифференциалы независимых переменных,
которые, по определению, равны
соответствующим приращениям
и
.
Частные
производные от частных производных
первого порядка называются частными
производными второго порядка.
Для функции двух переменных
их
четыре:
Вопрос 36. Производные высших порядков функции нескольких переменных.
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.
=
, 
=
.
=
, 
=
Две последние называют смешанными производными.
Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка.
Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2n штук.
Частная
производная порядка рфункции
имеет вид
,
где
.
Теорема.
Если частные производные первого
порядка некоторой функции непрерывно
дифференцируемы, то результаты смешанного
дифференцирования равны.
.
37..Производн по направл. Градиент.
Производн по направл — это обобщение понятия производной на случай ф-ции нескольких переменных. Производная по направл показывает, насколько быстро ф-ция изм при движении вдоль заданного направл.
Градиент — вектор, показывающ направл наискорейшего возрастания некотор величины , знач кот меняется от одной точки пространства к др
Функции нескольких переменных: Пусть задано множество D упорядоч пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, кот кажд паре чисел (х; у) є D сопоставл только одно число z є R, наз ф-цией двух переменных, определ на множестве D со знач в Е, и запис в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у наз независ переменными (аргументами), а z — завис переменной (функцией). Множество D = D(f) наз обл опред ф-ции. Множество знач, принимаемых z в обл опред, наз обл изм эт ф-ции,обознач E(f) или Е