Основы Теории погрешностей

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Горожанкин Алексей Анатольевич

(псевдоним – Галан)

«Основы Теории погрешностей»

Аннотация

−Введены понятия и рассмотрены три метода округления чисел: L-округление, C-округление и R-округление,

−Разработаны формулы определения погрешности, точности и отклонения при умножении, делении, сложении и вычитании, большинство из которых представлено впервые,

−Впервые сформулирован и кратко рассмотрен закон сложения погрешностей,

−Впервые выведен закон равновесия погрешностей и точностей при умножении и делении, а также закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании, на основе которых сформулированы правила вычисления чисел при данных видах вычислений,

−Впервые разработан универсальный способ оставления знаков у чисел при их вычислении,

−Описана методика сравнения чисел с учетом погрешностной составляющей, в которой некоторые элементы представлены впервые.

1

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

новаться как точное значение (X), используемая часть – как приближенное значение числа (Xпр), а неиспользуемая часть – как абсолютная погреш-

ность числа или его отклонение (∆x). Погрешность, точность и отклонение

можно называть числовыми характеристиками. На основе приведенных рассуждений вытекают общеизвестные определения числовых характеристик.

Погрешность числа (δx) – отношение отклонения к точному значению

числа.

Точность числа (Τx) – отношение приближенного к точному значению

числа.

Отклонение числа (∆x) – разность точного и приближенного значения

числа.

3

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

где X – точное значение числа,

Xпр – приближенное значение числа.

Связь между погрешностью и точностью чисел выражается следующей зависимостью:

Как известно, все числа состоят из знаков, которые вместе со знаком дробности образуют величину числа. В данной статье речь пойдет в основном об использовании десятичной системы счисления, в которой величина знаков меняется от 0 до 9. Для удобства расчетов числа обычно сокращают до определенной величины. Сокращение может осуществляться двумя способами:

1.Сокращение по знакам,

2.Сокращение по погрешности или точности.

При сокращении чисел по знакам используются три метода округления:

1.L-округление,

2.R-округление,

3.C-округление.

4

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

L-округление (L – от англ. Left – лево) – сокращение числа путем его уменьшения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается левее исходного (точного) числа.

R-округление (R – от англ. Right – право) – сокращение числа путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается правее исходного (точного) числа.

C-округление (C – от англ. Center – центр) – сокращение числа как пу-

тем его уменьшения, так и путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается то левее, то правее

исходного (точного) числа, в среднем стремясь к центру, иначе говоря, к исходному (точному) числу.

Примечание: в представленных определениях числа на координатной прямой взяты по модулю.

Основные правила округления чисел заключаются в следующем:

L-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру не изменяют (пример 1).

5

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

единицу (округление в бóльшую сторону); если же первая следующая за этим знаком цифра меньше пяти, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют (округление в меньшую сторону). Данный вид округления рассмотрен в примере 3.

При вычислении чисел знания формул (1)÷(3) недостаточно. Необходимо знать формулы определения погрешностей и точностей при различных видах вычислений, например, умножении, делении, сложении, вычитании. Перечисленные виды вычислений всем хорошо известны, как известно и то, что умножение с делением, а также сложение с вычитанием сильно переплетаются между собой. Например, вычитание – это сложение положительного и отрицательного чисел. Но тем не менее в результате исследований было обнаружено, что не все так просто, как кажется на первый взгляд. Все дело в том, что погрешности и точности при использова-

7

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

нии этих видов вычислений ведут себя иногда по-разному, хотя сами фор-

мулы отличаются лишь знаком («–» вместо «+»). Данное обстоятельство

вынудило среди перечисленных видов вычислений условно выделить

шесть, представленных в примере 4 (при использовании в расчете двух чи-

сел X1 и X2).

Примечание: использование всего двух чисел X1 и X2 обусловлено необ-

ходимостью показать основные виды простейших вычислений, из которых

и складывается любой расчет.

Для каждого из этих видов вычислений существуют формулы опреде-

ления числовых характеристик. В данной статье будут рассмотрены фор-

мулы для умножения, деления, сложения и вычитания, все остальные виды

вычислений подробно рассмотрены в (1). Погрешность и точность оконча-

тельного результата носят название «фактические», т.к. они образуются

из фактических погрешностей и точностей отдельных чисел. При проекти-

8

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

ровании числовых характеристик используются теоретические погреш-

ность и точность, поэтому они носят название «теоретические».

Умножение:

погрешность окончательного результата – это сумма фактиче-

ских погрешностей множителей:

9

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Деление:

погрешность окончательного результата – это разность фактиче-

где δzф – фактическая погрешность окончательного результата,

Тzф – фактическая точность окончательного результата,

∆zф – фактическое отклонение точного значения величины оконча-

тельного результата от приближенного,

Z – точное значение величины окончательного результата,

δxi – i-я погрешность множителей и делителей, 10