Аксиоматика Цермело – Френкеля

Неопределяемые понятия в аксиоматике Цермело – Френкеля – это понятия множестваи отношенияи =.

Аксиома экстенсиональности (объёмности)

.

Другими словами, если множества состоят из одних и тех же элементов, то они равны.

Определим подмножество: Обозначениебудет использоваться как краткая форма записи высказыванияАналогично этомубудет обозначать

Аксиома пустого множества

.

Определённое таким образом множество называетсяпустым множествоми обозначаетсяС помощью аксиомыможно доказать, что пустое множество единственно.

Аксиома неупорядоченной пары

.

Множество определённое данной аксиомой, называетсянеупорядоченной парой и обозначается Еслито вместомы пишемУпорядоченная пара определяется так:Аналогичным образом определяетсятройкаэлементов: Нетрудно доказать, что

Пусть и– множества.Функцией(илиотображением)называется множество упорядоченных паргдеудовлетворяющее условиям:

Функция называется такжесемейством элементов, заиндексированных множеством (здесь – множество индексов, а элементы семейства принадлежат множествуВ частности, отображение(где– множество натуральных чисел) можно назватьпоследовательностью элементов (элементы берутся из множества

Аксиома объединения

.

Здесь – множество, элементы которого являются элементами множеств, принадлежащихЕсли представить множествов видето–объединениемножеств, входящих вДопустима также записьЕслитоПересечениеопределяется следующим образом:

Существование пересечения обосновывается аксиомой Мы пишемили просто

Аксиома бесконечности

.

Эта аксиома утверждает существование хотя бы одного бесконечного множества.

Введём ещё одно обозначение (– равенство по определению):

Очевидно, знак обозначает“существует единственное...”

Аксиомы подстановки

.

где

Эта аксиома утверждает, что если при фиксированных формулаоднозначно определяеткак функцию отто для любого множествасовокупность всех значений функции на элементах изтакже образует множество. Отметим, что– это не одна аксиома, а бесконечная серия аксиом.

Аксиомы выделения

.

Это группа аксиом, позволяющих в любом множестве выделить подмножество, определяемое условием

Аксиома степени

.

Здесь постулируется существование множества всех подмножеств данного множества.

Аксиома выбора

Эта аксиома уже встречалась в разделе 2.2. Здесь мы её приведём в более сильной формулировке. Пусть – семейство множеств, занумерованных множествомипри всехДекартовым произведением называется отображение такое, чтопри всехАксиома выбора утверждает, что если множествонепусто и каждоенепусто, то декартово произведениетакже непусто. Иными словами, в каждом множествеможно выбрать по одному элементу. Так как семейство множеств– это отображението аксиому выбора можно записать так:

если то

Фраза “является отображением” расшифровывается так:

Если, пользуясь аксиомой расписать условиезатем расписатьии, наконец, с помощьюрасписать равенства видамы получим формулировку аксиомы выбора на языке логики предикатов.

Аксиома регулярности

.

Эта аксиома запрещает соотношения вида и т.д. Докажем, например, невозможность соотношенияПустьТак както по аксиомесуществуеттакое, что при всехНо тогдаиЗначит,

Аксиоматика Гёделя – Бернайса

Эту систему аксиом называют теорией классов. Основные неопределяемые понятия –множествоикласс. Каждое множество является классом, но не всякий класс – множеством. Классы мы будем обозначать большими буквами, а множества - маленькими.

Аксиома

–множество).

Можно понятие “множество” исключить из списка неопределяемых понятий; тогда аксиома будет определением множества.

Аксиомы повторяют аксиомы ино уже для классов.

Аксиома подстановки

.

Аксиомы образования классов

Аксиома выбора и аксиома регулярности – формулируются так же, как

Система аксиом Гёделя – Бернайса, в отличие от системы Цермело– Френкеля, состоит изконечногочисла аксиом. Доказано, что каждая теорема изZFявляется теоремой вGBи каждая теорема изGB, в которой говорится только о множествах, является теоремой вZF. Аксиома выбора не зависит от других аксиом системыGB.

83