МЛИТА / fv (Восстановлен)

1.1 Исчисление высказываний

Алфавит: пропозиц перем –элем выск-я

логические связки: служ симв-ы: (),выводимость

Формула ИВ (высказывание) опр-ся:

1)атомарные формулы – это пропозиц перемен;

2)если и – ф-лы, то – ф-лы.

Пусть дано слово в алфавите Подсловом этого слова мы называем всякое слово вида где началом слова назыв подслово вида Слово, в котором нет ни одной буквы, называется пустым словом и обозначается символом Пустое слово яв-ся подсловом любого слова. Подформулой формулы мы будем называть подслово слова которое само является формулой.

Лемма 1. Если и – формулы и – начало то Д-во проведём индукцией по длине ф-лы т.е. по кол-ву символов, входящих в Если длина равна 1, то – атомар ф-ла, тогда тоже атомарная; очевидно, что Если не атомарна, то нач либо с либо с Тогда где – ф-ла. Т к – нач то тоже нач с поэтому

1.2 Исчисление высказываний

где – ф-ла. Очев, – нач Знач, по предп-ю индукции Отсюда след, что Рассм случ, когда нач с лев скобки. Тогда где – один из симв а и – ф-лы. Так как – нач то также нач с лев скобки, а знач, где а и – ф-лы. Так как – начало то либо – начало либо – начало В обоих случ по предп-ю индукции получ Но тогда и Отсюда следует, что

Теорема 1. Всяк неатом ф-ла единств образом представ в одном из след видов: где и – ф-лы.

Д-во. Сущ-е такого предст-я след из опр-я ф-лы. Надо лишь д-ть единств-ть. Понятно, что если представима в виде то её нельзя представить в виде и надо лишь применить предп-е индукции к ф-ле Пусть представ в виде неоднозн. Тогда Одна из ф-л явл нач другой. Значит, по лемме 1 Но тогда и Это д-ет единств.

2.1 Прав вывода. Секвенции. Док-ва. Допустимые правила.

Секвенциями назыв записи след видов:(1) (2) (3) (4)

Здесь – ф-лы ИВ. Секвенция (1) расшифр так: из формул выводится формула Секвенция (2) означает, что совокупность формул противоречива. Секвенция (3) означает, что формула выводима.

Правила вывода (здесь – какие-либо последовательности формул, возможно, пустые):

1 2 3 4 5

6 7 8

9 10 11

Названия: 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11

Классич лог 1-11

Интуиционистск все кроме RAA

2.2 Прав вывода. Секвенции. Док-ва. Допустимые правила.

Аксиомами ИВ наз секвен вида где – ф-ла (не обязат атомарная).Доказательством назыв послед-ть секвенций где кажд – либо аксиома, либо получ из секвенций с помощью правил вывода

Допустимые правила вывода.

вывод DS для примера

3.1 Док-во секвенций и

() ()

4.1 Интерпретация ИВ. Истинность ф-л и секвенций на наборе переменных. Тождественная истинность.

Пусть – непустое мн-во, – мн-во всех его подмн-в. Пусть – мн-во всех ф-л ИВ, – мн-во всех атомарн ф-л. Рассм произвольное отобр-е Продолж его до отобр-я а затем опред для секвенций. Продолж-е с атомарн ф-л на произвольные построим индукт-о, а именно: если и уже построены, то полагаем: Итак, каждой формуле ИВ став-ся в соотв-е подмн-во мн-ва Секвенциям ИВ будем ставить в соотв-е некотор утв-я о подмн-х мн-ва а именно:(1)(2)(3)(4) принято следующее соглашение: если (т.е. то

4.2 Интерпретация ИВ. Истинность ф-л и секвенций на наборе переменных. Тождественная истинность.

Отметим, что так как множество предполагается непустым, то ложно (при любой интерпретации).

Рассмотрим теперь главную интерпретацию ИВ. Это будет отображение где – множество всех формул, а – множество всех секвенций

Для атом ф-л знач-я выберем произв-м образом. На ост-е ф-лы отобр-е распростр-м по обычн прав-м: где Отобр-е можно рассм-ть как присвоение знач-й ист-ти (“истина” или “ложь”) пропозиц-ым переменным. После того, как такое присвоение произошло, можно говорить об истинности или ложности других ф-л. Ист-ть или лож-ть секвенций опред-я след обр:

1 либо при некотором либо

2

3

4

5.1 Теорема о непротиворечивости.

Теорема. Исчисление высказываний непротиворечиво.

Доказательство.

Предположим, что для какой-либо формулы доказуемы секвенции и

Рассмотрим какую-либо интерпретацию исчисления высказываний в множестве

Так как для аксиом утверждение истинно и применение правил вывода не нарушает истинность секвенций, то для всех выводимых (т.е. доказуемых) секвенций утверждение также истинно.

Значит, Поэтому

Но следовательно, что неверно. Таким образом, ИВ непротиворечиво.

6

7.1 Теорема о полноте.

Теорема 3 (о полноте ИВ).

(а) Формула исчисления высказываний доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

(б) Секвенция ИВ доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

Док-во: Лемма 1. Секвенция истинна на наборе в том и только в том случае, если секвенция истинна на этом наборе Лемма 2. Секвенция доказуема только в том случае, если секвенция доказуема. Лемма 3. а)Если секвенция доказуема, то она тождественно истинна; б) если формула доказуема, то она тождественно истинна. Ввиду леммы 2 и следствия из леммы 1 доказуемости (соответственно, тождественные истинности) следующих секвенций эквивалентны: . . . Таким образом можно “перебросить” все формулы, стоящие слева от значка в правую часть и получить секвенцию вида для которой доказуемость (соответственно, тождественная истинность) равносильна доказуемости (соответственно, тождественной истинности) формулы (по определению).

7.2 Теорема о полноте.

След-но, нам надо д-ть только утв (а). Ввиду леммы 3 нам след д-ть лишь дост-ть: если ф-ла тожд-но истинна, то она д-ма. Пусть – тожд ист ф-ла. По теореме 2 пред раздела сущ-ет ф-ла такая, что

Положим . . . , Так как то по лемме 4 тожд ист. Но это означ, что ф-лы тожд ист. Рассм какую-нибудь одну из них, например, Если все различны, то не будет тожд ист, так как обращ-ся в 0 на таком наборе, где Значит, в какая-л пропозиц-ая перем-я (скажем, встреч-ся вместе со своим отриц-ем. След-но, можно преобр-ть: Секв-я док-ма По прав вывода 4 получ, что секв док-ма. Значит, ф-ла док-ма. Анал-но получ, что ф-лы док-мы. По прав 1 получ, что ф-ла док-ма. След-но, ф-ла а значит, и ф-ла док-ма.

8.1 Разрешимость классического исчисления высказываний

Под разрешимостью мы понимаем существование алгоритма, который по данной формуле (или секвенции определяет, доказуема эта формула (или секвенция) или нет. Такой алгоритм действительно существует.

Теорема 4. Исчисление высказываний разрешимо.

Доказательство. По теореме 3 (о полноте ИВ: (а) Формула исчисления высказываний доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна. (б) Секвенция ИВ доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.) проверка доказуемости формулы или секвенции сводится к проверке её тождественной истинности. Алгоритм такой проверки очевиден: надо придавать пропозициональным переменным входящим в рассматриваемые формулы, всевозможные значения (из множества и определять по таблицам истинности значение формулы (соответственно, секвенции Если на любом наборе будем иметь (соответственно, то (соответственно, тождественно истинна, а значит, доказуема, в противном случае (или недоказуема.

8.2 Разрешимость классического исчисления высказываний

Замечание. Пусть формула тождественно истинна, в чём мы убедились, применив алгоритм, изложенный в теореме 4. Тогда имеет доказательство. На самом деле можно построить алгоритм, выписывающий это доказательство (т.е. доказательство секвенции Алгоритм достаточно громоздкий, так как включает в себя (в качестве “подпрограмм”) доказательства утверждений и многих других, ведь мы приводим формулу к виду доказываем формулу затем продолжаем доказательство, пока не будет доказана формула

9.1 Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике

Голландский математик Брауэр решил, что нельзя использовать в рассуждениях закон исключённого третьего, так как он предполагает, что любое суждение либо истинно, либо ложно, а это, по мнению Брауэра, противоречит интуиции. Брауэр считал, что математика в своих абстрактных рассуждениях оторвалась от интуитивных корней и поэтому её выводы оказались неверными. Он считал, что следует очистить математику от неправильных (по его мнению) рассуждений и, в частности, убрать из математической практики закон исключённого третьего. Возражения против этого закона следующие: если мы утверждаем, что верно, то надо предъявить доказательство утверждения а если мы утверждаем, что неверно, надо предъявить доказательство утверждения говорить же о том, что обязательно либо либо окажется истинным, по мнению Брауэра, неправомерно. Это направление в математике и математической логике получило название интуиционизма. После Брауэра интуиционистские идеи были подхвачены Гейтингом и некоторыми другими математиками. В нашей стране идеи, близкие к интуиционистским, нашли выражение в конструктивизме, в создании которого большую роль сыграл А.А.Марков.

9.2 Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике

Конструктивисты пошли дальше интуиционистов и требовали ещё больших ограничений в использовании логических средств.

10.1 Интуиц ИВ. Недок-ть з-на исключ третьего.

Многие рез-ты исчислений гильбертовского типа верны не только в классич, но и в ИЛ. В частности, вывод ф-лы лемма о дедукции, “разбор случаев” не треб-и примен-я з-на исключ третьего, а знач, справедливы в интуиц логике. Ф-лы док-ись также без использ аксиомы (11), поэтому справедливы в ИИВ. Обратные ф-лы справед в классич ИВ, но несправед в интуиц-ом. Итак, в ИЛ двойное отриц-е неэквив-о отсутствию отрицания. Однако тройное отриц эквив однократ-у. Дей-но, в док-ве ф-лы можно сразу вместо взять и мы получим: Возьмём в формуле вместо формулу Тогда получим: Так как уже доказано, то по modus ponens получим:

Один из законов де-Моргана, а именно: и справедлив в ИИВ, так как его доказательство не использует закон исключённого третьего. Другой закон де-Моргана в интуиционистской логике несправедлив.

10.2 Интуиц ИВ. Недок-ть з-на исключ третьего.

Д-ем теперь невыводимость формулы (закона исключённого третьего) в интуиц логике. Рассм трёхзначное мн-во зн-й ист-ти в котором 0 интерпретируется как ложь (Л), 1 – как истина (И), 1/2– как неопределённость (Н). Определим конъюнкцию и дизъюнкцию обычным способом: отрицание: Импликация определяется так: Можно проверить, что аксиомы гильбертова исчисления (1) – (10) являются тождественно истинными в трёхзначной логике, т.е. при любом присвоении буквам значений из множества формула оказывается равной 1. Кроме того, правило modus ponens сохраняет тождественную истинность. Значит, все выводимые в ИИВ формулы тождественно истинны (в трёхзначной логике). Однако, формула тождественно истинной не является, так как при Н НН = Н  И. Значит, формула невыводима в ИИВ. (отрицание неопределённости=ложь)

11.1 Эквив мн-ва и их св-ва. Теорема Шредера-Берншейна

Мощностью конечного мн-ва мы будем назыв кол-во его эл-тов. Мн-ва и назыв эквив-ми (или равномощными), если сущ взаимно однозначное отобр-е мн-ва на мн-во Для эквив-х мн-в мы будем писать или

Свойства эквивалентности множеств:

1)

2) если то

3) если а то

Мощностью мн-ва А назыв совокупность всех мн-в, эквив мн-ву А. Мощность мн-ва А обозн

Говорят, что мощность мн-ва не превосходит мощности мн-ва (записываем: если сущ вложение мно-ва в мн-во Если сущ влож-е в но не сущ взаимно однозначного отобр-я на то мы говорим, что мощность мн-ва строго меньше мощности мн-ва и пишем

Теорема 1 (теорема Шрёдера – Бернштейна). Если сущ влож-я и то сущ взаимно однозначное отобр-е

11.2 Эквив мн-ва и их св-ва. Теорема Шредера-Берншейна

Доказательство. Положим Пусть и вообще Мы имеем: (1)где

(2)Очев, взаимно однозначно отобр-ет на поэтому сущ также взаимно однозн. Проверим, что взаимно однозначно отобр-ет на Д-но, пусть Так как то След-но, Пусть Так как и то для некот Это раве-во выполнено для каждого натур-го Если и то (ввиду того, что – влож-е) След-но, Т о,

11.3 Эквив мн-ва и их св-ва. Теорема Шредера-Берншейна

взаимно однозначно. Кроме того, взаимно однозначно отображает на на и т.д., а взаимно однозначно отображает на на и т.д. Пользуясь соотношениями (1) и (2), нетрудно убедиться в том, что отображение определённое правилом является взаимно однозначным. ЧТД.

Практическое значение: она позволяет доказывать эквивалентность множеств и не прибегая к построению взаимно однозначного отображения а строя лишь вложения и

6.1 Свойства непротиворечивых мн-в высказываний

Лемма 1: Г - непротивореч и Г док-ма, тогда ГU{ }

Лемма 2: Любое непротивореч мн-во ф-л Г содерж в макс непротивореч Гмакс

Лемма 2,5: Если Гмакс док-ма то Гмакс

Лемма 3: (1) Любые ф-лы Гмакс или Гмакс (не обе)

(2) Гмакс <=> Гмакс , Гмакс

(3) Гмакс <=> Гмакс или Гмакс

(4) Гмакс <=> Гмакс , Гмакс

Лемма 4: Любой F <=> Гмакс

Лемма 5: Если Г непреротивореч, то Г выполнимо (есть оценка, на которой все из Г истинно)

10