МЛИТА / new

21.1 Ординальные числа и их свойства

Порядковым типом вполне упоряд. мн-ва(ВУМ) A (ординалом) наз-ся сов-ть всех ВУМ изоморфных A.

Наименьшее бесконечное орд. число – это порядковый тип мн-ва натуральных чисел( ω).

Докажем следующие свойства ординалов:

(1)α≤α; (2)α≤β, β≤γ⇒α≤γ; (3)α≤ β, β≤ α⇒α=β.

(1) очевидно. Пусть теперь α ≤ β и β ≤ γ. Тогда сущ-ют изотонные (сохр-щие порядок) вложения ϕ : A→ B и ψ : B →C такие, что ϕ(A) – нач. отр. в B, а ψ(B) – нач. отр. в C. Произведение ψϕ : A→C явл-ся изотонным вложением A в C, а (ψϕ)(A) = ψ(ϕ(A)) – нач. отр. мн-ва C. Значит, α ≤ γ, т.е. выполнено (2). Пусть ϕ : A→ B и ψ : B → A – изотонные вложения, причём ϕ(A) – нач. отр. в B, а ψ(B) – нач. отр. в A. Произведение ψϕ : A→ A явл-ся изотонным вложением.

ψϕ – тождественное отображение. Аналогично док-ся, что ϕψ – тожд-ое отображение. Значит, ϕ(A) = B и ϕ – изоморфизм, поэтому α = β.

(4)Т1. В любом мн-ве ординалов есть наименьший элемент.

Пусть X= { α_ν | ν∈I} – мн-тво ординалов. Обозначим через Aν ВУМ, соот-щее ординалу α_ν Возьмём какое-либо Aν и удалим из рассм-я все Aν, к-е не изоморфны нач. отр-ам мн-ва Aν₀. Будем отожд-ять Aν с его изоморфным образом, т.е. считать, что Aν – нач. отр. Aν₀. Для каждого ν такого, что Aν ≠Aν₀, положим α_ν=min(Aν₀\ Aν). Затем выберем наименьший эл-т из этих α_ν: α_μ =min{ α_ν |ν∈I}. Легко видеть, что α_ν – наим-ий ординал в X. Ч.Т.Д.

Ординал наз-ся предельным,если соответствующее емуВУМне имеет…

21.2 Ординальные числа и их свойства

наибольшего эл-та(ω, ω³ + ω), и непредельным, если это не так(1,2,ω +1, ω² + ω + 3).

(5) Т2. Всякий ординал α представим в виде α = β +k, где β – предельный ординал или 0, а k – натуральное число или 0.

Если α < ω, то очевидно. Пусть α ≥ ω. Рас-им ВУМ A, соот-ее α. Если A не имеет макс. эл-та, то α – предельный ординал, и он пред-им в виде α = α + 0. Если A имеет макс. эл-т α₁ , то рас-им мн-во A\ { α₁ }. В этом мн-ве обозначим макс. эл-т (если он есть) α₂ . Затем рас-им мн-во A\ { α₁ , α₂ } и т.д. Так как α₁ > α₂ > α₃ > ... и A вполне упоряд., то эта цепь конечна. Значит,при каком-то k мн-во А \{ α₁ ,… , α_k } не содержит макс. эл-та. Тогда α = β +k, где β – пред. орд.

(6) Т3. Каково бы ни было мн-во ординалов { α_ν | ν∈I} сущ-ет ординал β такой, что β > α_ν при всех ν ∈I .

Рассмотрим ВУМа Aν, соот-ие α_ν. Пусть и B = 2^A. Тогда |B|>|Aν| при всех ν. След.,β больше всех α_ν.

(7)Т4. Если X= {α_ν|ν∈I}–мн-во ординалов, то сущ-ет supX

По Т3 сущ-ет ординал β такой, что β > α_ν при всех ν. Мы можем теперь расм-еть ВУМ B, соотв-ее ординалу β, и считать мн-ва Aν, соотв-ие ординалам α_ν, нач. отр-ми B. Тогда нач. отр-к B. Пусть α′ – порядковый тип множества A′. Ясно, что α′ = supX.

22.1 Кардинальные числа и их свойства

Кардинальным числом называется наименьший ординал заданной мощности.

Кардинальное число можно отождествить с мощностью, которую оно представляет. В ряде учебников мощность множества определяется как наименьший ординал, эквивалентный данному множеству, поэтому взаимно однозначное соответствие между кардинальными числами и мощностями очевидно. В частности, ω = ℵ₀ .

Принцип трансфинитной индукции. Пусть P – некоторое свойство ординальных чисел. Предположим, что наименьший ординал 0 обладает свойством P и для каждого ординала α, если все β < α обладают свойством P, то α обладает свойством P. Тогда свойством P обладают все ординальные числа.

Доказательство. Пусть P верно не для всех ординалов α. Тогда существует наименьший ординал α ₀ , для которого P неверно. Так как α ₀ – наименьший, то все β < α ₀ обладают свойством P. Но тогда и α ₀ обладает свойством P, что противоречит выбору 0α .

Некоторые из ординальных чисел являются мощностями, некоторые – нет. Например, все натуральные числа 0, 1, 2, ... – мощности, ω – мощность. Однако ω +1, ω +2, ω + ω не являются мощностями. Нетрудно видеть, что всякая бесконечная мощность является предельным ординалом.

22.2 Кардинальные числа и их свойства

Действительно, пусть α – бесконечный непредельный ординал. Тогда α = β +1 для некоторого β. Так как β бесконечен, тоβ ~ α. Значит, α не может быть мощностью.

Пусть α и β – ординальные числа. Определим с помощью трансфинитной индукции число α^β . А именно, положим для предельного ординала β Таким образом мы можем построить ординалы 2 ^ω , ω^ω и т.д.

Т2. В любой совокупности каких-либо множеств есть множество, наименьшее по мощности.

Пусть {Aν |ν∈Ω}–сов-ость множеств Aνи { α_ν|ν ∈Ω}– их мощности. Тогда по теореме 1(21.1) среди α_ν есть наименьшее. Соответствующее множество Aν будет иметь наименьшую мощность.

Ранее мы видели, что ℵ₀ ⋅ ℵ₀ = ℵ₀ ,c ⋅ c = c. Оказывается, что аналогичное равенство справедливо для любой бесконечной мощности.

(СН) Континуум-гипотеза: не существует мощности m, удовлетворяющей условию ℵ₀ < m < c.

Следующее утверждение является усилением континуум-гипотезы.

(GCH) Обобщённая континуум-гипотеза: каково бы ни было ординальное число α, не существует

мощности m, удовлетворяющей неравенству ℵα < m <ℵα+1.

26.1 Понятие моделей данной сигнатуры.Формулы исчисления предикатов.ИстинностьФормулы в даннойМодели

Напомним определения операций и отн-ий на мн-ве, а именно: п-арной операцией на мн-ве A наз-ся отображение п-арным отн-ем на A наз-ся отображение п-арное отн-е иначе наз-ют п-арным (или п-местным) предикатом. Двуместный предикат P(x,y) – это бинарное отн-е (к числу к-х относятся =, ≤, ⋮, ⊂ и т.д.). Одноместный предикат P(x) – это св-во эл-в A (если P(α)=1 мы говорим, что эл-т α∈A обладает данным св-ом, а при P(α) – не обладает). Нульместный предикат – это просто истина 1 или ложь 0 – он не зависит от эл-ов мн-ва A

Сигнатурой наз-ся пара где – набор символов операций – символ -арной операции), – набор символов отн-ий – символ -арного отн-я).

Пусть – сигнатура. Моделью сигнатуры Ω наз-ся мн-во А такое, что каждому символу операции f∈Ω поставлена в соот-е операция той же арности на А и каждому символу отн-ия Р∈П поставлено в соот-е отн-е Р той же арности на А. Операцию мы будем обозначать той же буквой, что и символ операции, а отн-е – так же, как символ отн-я. Мн-во А мы будем называть носителем модели. Нормальной явл-ся модель, в кот. Есть отн-е «=», и оно понимается как совпадение эл-ов.

26.2 Понятие моделей данной сигнатуры.Формулы узкого исчисления предикатов.ИстинностьФормулы в даннойМодели

Терм определяется индуктивно:

1)предметная переменная – терм;

2)если – термы и – символ п-арной операции, то – терм.

Формула логики первого порядка сигнатуры(УИП) определяется индуктивно:

1)если – термы сигнатуры Ω и Р∈П – символ п-местного отношения, то – формула (такие формулы называются атомарными);

2)если ψ и ϕ – формулы, то – формулы;

3)если – формула и х – предметная переменная, то и – формулы.

Пусть – модель, где А – носитель, Ω – сигнатура и – формула УИП со свободными переменными Истинность или ложность этой формулы зависит от того, какие значения мы придадим переменным Назовём оценкой отображение (смысл её состоит в том, что мы каждой предметной переменной присваиваем какое-то значение из множества А).

26.3 Понятие моделей данной сигнатуры.Формулы исчисления предикатов.ИстинностьФормулы в даннойМодели

Определим значение истинности формулы на оценке Истину мы будем обозначать буквой И, а ложь – буквой Л. Определение построим индукцией по длине формулы. Положим ... ,

1. если – атомарная формула, где – термы, то в том и только в том случае, если

2. если имеет вид или то истинность или ложность высказывания определяется по обычным правилам;

3. если то в том и только том случае, если при всех

4. если то в том и только том случае, если при каком-нибудь

8

6

12

10