МЛИТА / 12-21

12.1 Счетные множества и их свойства.

Множество A называется счётным, если A ~N.

Свойства счётных множеств:

-объединение двух счётных множеств счётно;

-прямое произведение двух счётных множеств счётно;

-объединение счётного числа счётных множеств счётно;

-всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество

Доказательство: Докажем вначале свойство 2). Пусть C =AxB, где A B, – счётные множества. Элементы множества C можно расположить в следующем виде: (рис1)

Пересчёт элементов множества C, т.е. установление взаимно однознач соотв между элементами множеств C и N может быть осуществлён, н-р, так: (рис2).

Номер, который будет присвоен паре ( , ) равен

Свойство 3) => из 2) и теоремы Шрёд – Берншт. C=A1 U A2 U A3 U… где каждое Ai счетно. Т.к. N вкладывается в А1, то N вкладывается в С.

13.1 Несчетность множества действительных чисел. Свойства множеств мощности континуума.

Множество A называется несчётным, если оно бесконечно и неэквивалентно счётному множеству (т.е. его мощность больше ℵ0.

Теорема 2 (Кантора). Множество [0; 1] несчётно. Доказательство. Каждое число α ∈ [0; 1] имеет десятичную запись α = 0, a1a2a3.. где a1,a2,a3∈ {0, 1, 2, ... , 9}. При этом некоторые числа могут быть записаны двумя способами, например, ¼=0, 250000 ..= 0, 249999 .. Из этих двух записей выберем первую, т.е. запретим ситуацию, когда в десятичной записи числа, начиная с некоторого момента, идут одни девятки. Исключением сделаем лишь число 1= 0, 9999…

Предположим, что множество [0; 1] счётно. Тогда все его элементы можно перечислить: [0, 1]= {α1 , α2 , α3 , …} (1)

Представим все в виде десятичных дробей:

Теперь построим число β ∈ [0, 1] след обр. Пусть − любая цифра, отличная от и 9, − любая цифра, отличная от и 9, и вообще , . Положим β = 0,b1b2b3 … Тогда β ≠ при всех i. Т.к. β ∈ [0, 1], противоречие с равенством (1). Ч.т.д

15.1 Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества

Для любого множества X

Доказательство. Вложение осуществляется просто: Нам осталось доказать, что не существует взаимно однозначного соответствия между множествами X и Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие т.е. каждому элементу ставится в соответствие подмножество причём каждое подмножество представимо в виде при некотором По условию при некотором значит, Далее, при некотором в этом случае Построим подмножество Y множества X положив Так как то при некотором Выясним, верно ли соотношение Имеем:

а) если то по определению множества Y получим:

17.1 Вполне упорядоченные множества и их свойства.

Множество А вполне упорядоченное, если оно линейно упорядочено и любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.

Утверждение. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным, если и только если оно не содержит бесконечных убывающих последовательностей элементов

Доказательство. Необходимость. Пусть А вполне упорядочено и в нём есть убывающая цепь Тогда множество В= не имеет наименьшего элемента – противоречие.

Достаточность. Пусть А – линейно упорядоченное множество без бесконечных убывающих цепей элементов. Рассмотрим какое-нибудь непустое подмножество Пусть – какой-нибудь элемент из В. Если х₁ не наименьший, то существует такое, что Если не наименьший, то существует такое, что и т.д.

18.1 Вложения вполне упорядоченных множеств в качестве начальных отрезков

Пусть X – линейно упорядоченное множество. Начальным отрезком множества X назовём такое подмножество A что

Лемма 1. Для любых двух нач отрезков линейно упоряд множества X либо либо Доказательство. Пусть Тогда существует Возьмём любой элемент Если бы то что невозможно. Значит, Отсюда следует, что Итак, любой элемент лежит в A. Следовательно, .

Два лин упоряд множества называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозн соотв, сохраняющее порядок.

Теорема 1. Для любых 2х вполне упорядоченных множеств одно из них изоморфно начальному отрезку другого. Доказательство. Пусть – вполне упоряд множества. Рассмотрим изоморфизмы где – начальные отрезки множеств

18.3 Вложения вполне упорядоченных множеств в качестве начальных отрезков

Рассм отображение определённое след образом: если то для некоторого A, для которого есть изоморфизм положим Это определение яв-ся корректным, так как если и – изоморфизм, то либо либо Если то и – изоморфизмы нач отрезка A на нач отрезок или Поэтому Значит, что доказывает корректность определения отображения

Очевидно, – наиб нач отрезок в X отображающийся на нач отрезок в Y. Пусть Док-м, что либо либо Предпол, что и Пусть Положим Очевидно, и – нач отрезки множеств A и B соответственно.

Определим отобр положив для и Очевидно, – изоморфизм начальных

13.2 Несчетность множества действительных чисел. Свойства множеств мощности континуума.

Свойства множеств мощности континуума:

(1)с+с=с ; (2)c ⋅ с=с ; (3)c +ℵ0 =с ⋅ℵ0=с

Доказательство. Докажем св-во 2), т.е. тот факт, что «квадрат содержит столько же точек, сколько отрезок». Очев, |[0, 1)|= c Поэтому возьмём A = [0, 1). Надо док-ь, что |A× А|= c. Ввиду теор Шрёд – Берншт нам достаточно вложить A в A×A и вложить A×A в A. Вложение A в A×A для любого непустого множества A осуществляется очень просто: a->(a , ), где – фиксир элемент из A. Теперь вложим множество [0, 1) × [0, 1) в множество [0, 1). Пусть x ∈ [0, 1)×[0, 1). Тогда x = (y, z ), где y, z∈ [0, 1). Запишем y и z в виде бесконечных десятичных дробей: y = 0, α1α2α3… z = 0,β1β2β3… (как в доказательстве теоремы Кантора, мы запрещаем дроби вида 0, ∗..∗999 ). Рассмотрим отображение (y , z)-> 0,α1β1α2β2α3β3… Нетрудно пров-ть, что оно является вложением множества [0, 1)×[0, 1) в [0, 1). Свойство 1) можно доказать, используя 2) и теорему Шрёд – Берншт. А именно, ясно, что множество мощности c вкладывается в множество мощности. Далее, c+c – это мощность объединения 2х отрезков. Оно вкладывается в квадрат, а квадрат вкладывается в отрезок. Свойство 3) доказывается аналогичными рассуждениями. Доказательство предоставляется читателю. Пусть X Y, – произвольные множества. Обозначим через Y X множество всех отображений Y X → .

12.2 Счетные множества и их свойства.

Осталось построить вложение С ->N. По условию Ai – счетные множества, поэтому Ai =. Значит элемент из С имеет вид . Не исключается что . Для каждого с выберем одно какое-нибудь представление в виде Отображение с -> (i,j) определяет вложение С в NxN, а по св-ву (2) |NxN|=|N|. Значит |C|=|N|.

Св-во (1) => из (3), т.к. A U B = A U B U B U..

Докажем (4): Пусть A− бесконечное множество. Выберем элемент a1A. Т.к. А – бесконечно, то А. Значит существ элемент a2. Таким же образом a3, a4. Мы получили счётное подмножество множества A.

Мощность множества N (а значит, любого счётного множества) обозначается ℵ0 (читается: «алеф-нуль»). Так как всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество, то ℵ0 – самая маленькая из всех бесконечных мощностей.

Если A и B – два непересекающихся счётных множества, то по свойству 1) A ∪ B =ℵ0 Это можно записать так: ℵ0 +ℵ0 =ℵ0 . Аналогично этому свойство 2) можно записать так: ℵ0 ⋅ℵ0 =ℵ0

17.2 Вполне упорядоченные множества и их свойства.

Если В не имеет наименьшего элемента, то существует бесконечная убывающая цепь , что противоречит условию.

Пр.1.Множество натуральных чисел с обычным отношением порядка является вполне упорядоченным.

Свойства вполне упорядоченных множеств:

1. любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено;

2. если А и В – два непересекающихся вполне упорядоченных множества, то порядок на множестве определённый следующим образом.

превращает во вполне упорядоченное множество.

Доказательство очевидно.

15.2 Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества

б) если то по определению множества Y получим: что невозможно. Мы получили противоречие. Теорема доказана.

Из теоремы Кантора следует, что среди множеств нет наибольшего по мощности, так как, каково бы ни было множество X, множество имеет ещё большую мощность. В частности, < ...

18.4 Вложения вполне упорядоченных множеств в качестве начальных отрезков

отрезков и Так как – наибольший начальный отрезок, изоморфный начальному отрезку в Y то Однако Противоречие.=>, или В первом случае множество X изоморфно начальному отрезку множества Y, во втором – наоборот. Теорема доказана.

Лемма 2. Пусть – вполне упор множ и множество A изоморфно нач отрезку множества B. Тогда этот изоморфизм определяется единств образом. Доказательство. Пусть – вложение, сохран порядок, и – начальный отрезок множества B. Надо д-ть, что Пусть и Можно считать, что Так как – начальный отрезок, и то для некоторого Так как то значит, Так как – вложение, то но это невозможно. Таким образом,

18.2 Вложения вполне упорядоченных множеств в качестве начальных отрезков

Такие изоморфизмы есть. Н-р, если X и Y непусты, а и – наименьш элементы мн-в X и Y то – изоморфизм нач отрезков. Док-м теперь, что для каждого нач отрезка A множества X изоморфизм где B – начальный отр множества Y если существует, то однозначен. Действительно, пусть – изоморфизмы, где – нач отрезок множества Y. Пусть – наим элемент из A такой, что Мы можем считать, что Положим Очевидно, отображает взаимно однозначно на Для По условию и Поэтому при некотором Имеем: что противоречит равенству Пусть – объединение всех начальных отрезков для которых существует изоморфизм на начальный отрезок B множества Y.