МЛИТА / 12-21_2

14.1 Связь между счётными множествами и множествами мощности континуума

Теорема. Множество всех подмножеств счётного множества имеет мощность континуума (другими словами, = c). Доказательство. Ввиду теоремы Шрёд – Берншт нам достаточно построить вложения → [0, 1] и [0, 1]→ Каждой функции f : N→{0, 1} сопоставим бесконечную десятичную дробь 0, f(1)f(2)f(3)… Теперь вложим [0, 1] в . Элементы из [0, 1] представим в виде бесконечных двоичных дробей, запретив для однозначности записи вида 0, *..*111… для всех чисел, кроме 1= 0,111… Каждой двоичн дроби 0,ε1ε2ε3… сопост функцию f, определённую правилом i-> .

16.1 Эквивалентность множеств и

Теорема. Для любых множеств X,Y,Z имеет место эквивалентность множеств и

Доказательство. Пусть f ∈ . Тогда f : Y×Z → X. Для каждого z ∈ Z определим: : Y→ X как y -> f(y, z ). По определению ∈ . Значит, мы имеем отображение ϕ: Z → , z -> . Ясно, что ϕ ∈ . Положим Φ(f) = ϕ. Мы получили отображение Φ: →.

Докажем, что Ф является вложением. Действительно, пусть f ≠ f ′. Тогда f(y,z ) ≠ f ‘(y,z ) при некоторых y∈ Y , z∈ Z . Отсюда (y) ≠ ’(y) Значит, ≠ ’ а потому ϕ ≠ ϕ′. Таким образом, Φ(f) ≠Φ (f ’), т.е. Φ – вложение.

Осталось доказать, что Φ является наложением, т.е. что для каждого ψ ∈ существует такое , f ∈ что Φ(f)=ψ. Имеем: ψ: Z→. Значит, ψ (z)∈ т.е. ψ(z ):Y→X. Таким образом, ψ(z )( y) ∈X. Положим f(y ,z ) = ψ(z)(y). Тогда f: Y×Z→ X. Осталось проверить, что Φ(f) = ψ. Мы имеем: (y)=f(y,z)=ψ(z)(y). Ввиду произвольности элемента y∈ Y получаем: = ψ(z). По определению Φ(f)(z)= . Значит, Φ(f)(z) = ψ(z). Ввиду произвольности элемента z∈ Z получаем: Φ(f)=ψ. Это и требовалось доказать.

19.1 Аксиома выбора. Теорема Цермело

Цепью называется линейно упорядоченное множество.

Пусть A – частично упорядоченное множество(ЧУМ) и Г – его подмножество, являющееся цепью. Мажорантой (или верхней границей) цепи Г называется любой элемент такой, что для всех

Обозначим через множество всех мажорант цепи Г. Введём ещё одно обозначение. Пусть Г – цепь и Положим

(1)Аксиома выбора Если A – непустое множ-во, то в каждом его непустом подмнож можно выбрать по одному элементу. Т.е. существует функция выбора: такая, что f(B)∈B при любом непустом B⊆A.

(2)Лемма Цорна. Пусть A–ЧУМ, в котором каждая цепь имеет мажоранту. Тогда A имеет хотя бы один макс элемент.

(3)Теорема Цермело. На всяком множ-ве можно ввести отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество. Докажем по схеме

2=>3: Предпол, что справ лемма Цорна. Док-м теорему Цермело. Пусть A – мн-во и Х – множество пар где B –

подмножество множества A а – отношение порядка на B

19.2 Аксиома выбора. Теорема Цермело

такое, что B вполне упоряд этим отношением. Введём на мн-ве X отнош порядка, положив если (т.е. на мн-ве B порядки и совпадают) и B яв-cя нач отрезком в Пусть – цепь в X (здесь – какое-либо мн-во индексов). Очев, – мажор цепи Итак, каждая цепь в X имеет мажоранту. Отсюда => по л.Цорна, что X имеет макc элемент. Пусть это будет Док-м, что Пусть Тогда элемент Положим и продолжим на множество положив и для всех (здесь – продолжение порядка Получим что противореч максимальности элемента Итак, значит, A вполне упоряд отношением

3=>1: Предпол, что справ теор Цермело, и требуется док-ть аксиому выбора. Пусть A – произв мн-во. По т. Цермело порядок на A превращ его во вполне упоряд мн-во. Для каждого непустого подмножества положим Тогда f будет являться функцией выбора

20.1 Лемма Цорна

(1)Аксиома выбора Если A – непустое множ-во, то в каждом его непустом подмнож можно выбрать по одному элементу. Т.е. функция выбора: такая, что f(B)∈B при любом непустом B⊆A.

(2)Лемма Цорна. Пусть A– частично упорядоченное множество (ЧУМ), в кот каждая цепь имеет мажоранту. Тогда A имеет хотя бы один макс элемент.

1=>2:Пусть A – ЧУМ, в кот каждая цепь имеет мажоранту. Обознач через f ф-ю выбора Предпол, что мн-во A не имеет макс эл-та, и приведём это предполож к противореч. Т.k. в A нет макс элемента, то для любой цепи Назовём подмнож мн-ва A отмеченным, если вып-ся условия:(а) вполне упоряд отнош порядка, перенесённым на из A, (б) для любого имеет место равенство Отмеч подмнож-ва существуют. Н-р, Прим. непустого отмеч подмнож: где Пусть и – два отмеч подмнож-ва, Тогда поэтому Итак, мин эл-ты всех отмеч подмнож-в совпад друг с другом (и совпадают с

Док-м, что для любых отмеч подмнож и либо либо По теореме из 18.1 одно из этих мн-в изоморфно нач отр другого. Пусть, н-р, изоморфно нач отр мн-ва и –

20.2 Лемма Цорна

изоморфизм на Т.k. то Док-м, что для всех Пусть это не так и – мин элемент такой, что Ввиду (б) Ввиду минимальности элемента отобр тождественно на Значит, Док-м, что между эл-ми из и элементом в цепи элементов нет. Действ-но, пусть для всех Т.k. то Значит, при некот Т.k. то откуда Значит, что противор выбору элемента Итак, между и в эл-в нет. Это означает, что

Так как отмеч, то Это влечёт, что – противоречие =>,

Пусть – объед всех отмеч подмн-в. Ранее было показано, что для любых двух отмеч подмножеств одно из них содержится в др в качестве нач отрезка. Отсюда =>, что тоже является отмеч подмножеством. Очевидно, – наиб отмеч подмножество. По условию =>, существует элемент Цепь тоже является отмеч подмнож, поэтому Но это противоречит тому, что Утверждение доказано.

29.1 Фильтр. Центрированная система множеств.

Фильтром на множестве X называется совокупность F подмножеств множества X обладающая свойствами (1) (2) (3) Примеры фильтров:

1.Пусть Тогда – фильтр. Он наз-ся фильтром, порождённым множ-м A

2.Пусть Тогда – фильтр. Он наз-ся главным фильтром, порожд элементом a(макс по включению)

3.Пусть X – бескон мн-во и F – мн-во таких что Тогда F – фильтр.

Пусть S – сов-ть подмн-в множества X.Она наз-ся центрир системой подмн-в (или: S обладает св-вом конечных пересечений), если пересеч любого конеч числа мн-в из S непусто, т.е. Теорема1. Всякая центрир система подмн-в вкладыв в фильтр. Док-во. Пусть S – центрир система подмн-в мн-ва X. Обознач через F сов-ть таких подмн-в B мн-ва X что для некот Проверим, что F– фильтр. Из опред системы S=>, что при всех Значит, Пусть и Так как при некотS то также Значит, Наконец, пусть Тогда при некот =>, а значит,

30.1 Ультрафильтр. Характеризация ультрафильтров.

Фильтр U на мн-ве X наз-ся ультрафильтром(УФ), если он макс по включению, т.е. для любого фильтра F

Теорема 2. Всякий фильтр вкладывается в ультрафильтр. Док-во. Пусть D – фильтр на мн-ве X Обозначим через P част упоряд по включению мн-во всех фильтров на мн-ве X. Док-м, что в P каждая цепь имеет верхнюю границу. Действ, пусть – цепь фильтров. Положим . Док-м, что – тоже фильтр. Так как ни при каком то Далее, пусть и Тогда при некот T.k. – фильтр, то =>,. Наконец, пусть Тогда при некотор T.k. – цепь, то либо либо Пусть, н-р, Тогда Т.k. – фильтр, то Отсюда получ: Итак, – фильтр, котор, очев, яв-ся верхней границей цепи По л.Цорна в мн-ве P есть хотя бы один макс элемент U. Это и будет УФ, содерж фильтр D.

Теорема 3. Фильтр U на множестве X яв-ся ультрафильтром если для любого либо либо

30.2 Ультрафильтр. Характеризация ультрафильтров.

Док-во. Необх-ость(=>). Пусть U –УФ и таково, что Док-м, что Предпол, что Рассм-м след сов-ть подмножеств мн-ва X: Док-м, что S – центрированная система. Пусть ... , (при этом Т.k. U – фильтр, то Нам надо док-ь, что Предпол, что Тогда =>, а это противор предполож. Итак, S– центрир система. По теор 1(29.1) фильтр F такой, что Пусть Тогда поэтому а значит, Итак, Кроме того, а это означ, что U не макс. Мы получ противор. Дост-сть(<=). Пусть – фильтр со св-вом: или Докажем, что F – УФ. Пусть – такой фильтр, что Надо док-ть, что Пусть Т.к. то а значит, Т.к. и то т.е. а это противореч тому факту, что – фильтр. Теорема доказана.

31.1 Ультрапроизведение моделей. Истинность формул на ультрапроизведении.

Пусть – сов-ть моделей одной и той же сигнатуры где – мн-во симв операций, а – мн-во символов отношений. Рассм-м вначале прямое произвед мн-в Обозначается оно , а опр-ся как мн-во наборов (кр обозн: где при каждом (Если мн-во конечно, скажем, то – это мн-во троек где На мн-ве легко ввести операции из : если – символ п-арной операции, то положим т.е. определим операции покомпонентно.

Намного хуже дело обстоит с определ отнош на мн-ве . Пусть – символ т-арного отнош. Первое, что приходит в голову, – это сказать, что тогда и только тогда, когда для всех Н-р, так опред-сь отнош порядка на прямом произвед част упоряд мн-в

Пусть U – ультрафильтр на множестве и – сов-ть

31.2 Ультрапроизведение моделей. Истинность формул на ультрапроизведении.

моделей одной сигнатуры Введём на произвед отношение ~, положив Проверим, что ~ является отнош эквивалентности. Имеем: т.k. значит, ~ рефлексивно. Симметр отношения ~ очевидна. Док-м его транзитивность. Пусть и Тогда и Если то и откуда

=>, а значит, T.o., отнош ~ транзит и потому яв-ся отнош эквив-ти. Мн-во отнош ~ разбив-ся на классы эквив. Мн-во классов эквив будем обозн и назыв ультрапроизведением. Класс эквив, в кот лежит элемент мы будем обознач Чтобы превратить в модель сигнатуры нам надо опр-ть на этом мн-ве ф-ии и предикаты Пусть – п-арная ф-я. Положим

Надо док-ть корректность этого определения, т.е. независ-ть значения ф-ии от выбора представит классов. А именно,

31.3 Ультрапроизведение моделей. Истинность формул на ультрапроизведении.

надо пок-ть, что если . . . , то ~ Положим По усл Но тогда Для каждого имеем: = =>, ~ Теперь рассм-м т-арный предикат Будем считать, что в том и только том случ, если Док-м коррек-ть этого определ, т.е. незав-ть от выбора представителей. Пусть . . . , Положим Т.к. то Пусть Если то Для эл-тов выполнены рав-ва и Зн-т, при и поэтому

Большое знач ультрапроизв в теории моделей объясн-ся тем, что, в отлич от обычн прям произвед, ультрапроизвед сохран утверждения, выражен формулами логики первого порядка.

32.1 Теорема Лося.

Теорема(Лося) Пусть – ультрапроизвед моделей одной и той же сигнатуры Формула данной сигнат истинна(И) на наборе в том и только в том случае, если

Док-во. Избавимся в формуле от связок и и квантора пользуясь эквивалент Дальше док-во индукц по длине ф-лы длина-кол-во связок и кванторов входящ в ф-лу. Пусть – атом формула, т.е.где – п-местный предикат, а – термы. Выясним, когда ф-ла И на наборе . . . , Это будет в том и только в том случае, если ч.т.д Пусть теперь = Тогда (по предпол индукции) (по th3: Фильтр U на множестве X является УФ если для любого либо либо ) ч.т.д.

32.2 Теорема Лося.

Если то = Пусть и По предпол инд и аналог для Значит, Осталось рассм-ть случай, когда Имеем: в том и только в том случае, если при некот. Зафикс набор Пусть выполн

Тогда по предпол инд Положим Из вида ф-лы =>, что Т.к. то Наоборот, пусть Тогда для найдём такое что Для в кач-ве возьм люб эл-ты. Пусть Тогда Так как то Следовательно, выполнено

23.1 Мощность множества АxA

Теорема 5. В любой сов-ти каких-либо мн-в есть мн-во, наименьш по мощности.

Док-во. Пусть – совокупность множеств и – их мощности. Тогда по теор 1(21.2) (В любом мн-ве ординалов есть наименьш эл-т.) среди есть наименьшее. Соотв-щее мн-во будет иметь наименьшую мощность.

Ранее мы видели, что Оказ-ся, что аналогичное рав-во справедливо для любой бескон мощности.

Теорема 6. Если m – бесконечная мощность, то

Док-во. Нам надо фактически доказать, что для любого бескон мн-ва A. Предпол, что это не так. Тогда по теор 5 множество А наименьшей мощ-ти такое, что Ввиду т. Цермело можем считать, что мн-во А вполне упоряд. Рассм-м нач-ые отрезки В мн-ва А удовл-щие условию Такие отрезки , н-р, отрезок, изоморфный натуральному ряду N. Для каждого такого нач отрезка есть взаимно однознач отображ Рассм-м мн-во пар и введём на нём отнош-е порядка, положив если и Проверим, что множество U удовл-ет условиям л. Цорна.

23.2 Мощность множества АxA

Действительно, пусть – цепь в U. Положим (отобр-е здесь как подмн-во мн-ва Тогда взаимно однозначно и – мажоранта цепи U. Итак, множество U удовлетворяет условиям л.Цорна. Следовательно, в множестве U макс элемент Здесь – взаимно однозн отобр-е.

Т.k. то поэтому (см. сл 4: Если A – бескон мн-во, B – мн-во такое, что | B |<| A |, то

| A\B |=| A | ). Очев-но, – вполне упоряд мн-во, большее по мощ-ти, чем B, поэтому имеет нач отрезок Пусть Тогда Ввиду наличия взаимно однозн отобр-я все четыре скобки равномощны мн-ву B.

=>, взаимно однозн отобр Это означает, что – взаимно однозн отобр, продолжающее Но – макс элемент, а получили противоречие. Тем самым установлено, что

24.1 Аксиомы Пеано натур чисел.Коммутативность сложения

Мн-вом натур чисел мы будем называть любое мн-во А на котором определена опер-я следования (элемент интерпрет как элемент мн-ва А, непосред следующ за элем-ом и вып-ся ряд аксиом (аксиомы Пеано). - совпадение элементов и .

Аксиомы Пеано:

(П1) (аксиома наличия наименьш элем-та);

(П2)

(П3) (акс индукции). Пусть В – подмн-во мн-ва А такое, что вып-ся усл: (а) б) Тогда

Сложение двух натур чисел. Пусть Положим: при (индукт определ). Ввиду акс инд опред для всех Док-м св-во коммут натур чисел, т.е. что Нужны 2 леммы.

Лемма 1. Док-во проведём инд по a. При утв очевидно. Пусть док-м, что Имеем:

Лемма 2. для любых Док-во. Индукция по b.При b=1 получаем:

24.2 Аксиомы Пеано натур чисел.Коммутативность сложения

Пусть при всех и некотором x. Док-м, что то же верно для Имеем: что и требовалось.

Теорема 1. при всех Док-во. Индукция по b. При b=1 утверждение следует из леммы 1. Пусть при всех и некотором x. Док-м, что то же верно для Имеем (с учётом предполож индукции и леммы 2): Теорема доказана. Аналогично доказывается закон ассоциативности На множестве A натур чисел можно опр-ть отношение порядка: а также операцию умножения: С помощью аксиом Пеано можно доказать законы ассоциативности и коммутативности умножения, а также закон дистрибутивности

25.1 Аксиомы действительных чисел

Мн-во действительных чисел мы будем рассматривать как мн-во, на котором определены операция сложения +, умножения ⋅, отношение порядка ≤, константы 0 и 1, и выполняются аксиомы:

(1) ∀a ∀b ∀c (a +b)+c = a +(b +c); (2) ∀a a + 0 = a;

(3) ∀a ∃b a +b = 0; (4) ∀a ∀b a +b =b +a;

(5) ∀a ∀b ∀c (ab)c = a(bc); (6) 1 ≠ 0;

(7) ∀a a ⋅1 = a; (8) ∀a ∃b (a = 0∨ab = 1);

(9) ∀a ∀b ab =ba; (10) ∀a ∀b ∀c (a +b)c = ac +bc;

(11) ∀a a ≤a; (12) ∀a ∀b ∀c (a ≤b ∧b ≤c →a ≤c);

(13) ∀a ∀b (a ≤b ∧b ≤a →a =b); (14) ∀a ∀b (a ≤b ∨ b ≤a);

(15) ∀a ∀b ∀c (a ≤b→a +c ≤b +c);

(16) ∀a ∀b ∀c (a ≤b ∧c ≥ 0 →ac ≤bc);

(17) аксиома Архимеда. ∀a ∀b (a > 0 ∧b > 0 → ∃n :􀁠 (na >b));

(18) аксиома непрерывности

В курсе мат анализа док-ся, что аксиома непрер-ти эквивалентна принципу влож отрезков, а также теореме о сущ точной верхней грани у любого непустого огранич мн-ва.=>, аксиома (18) может быть заменена на одно из этих утв. Мн-во действ чисел опр-ся аксиомами (1)–(18) однозначно с точностью до изоморфизма. Аксиом (1)–(17) для опр-я мн-ва R недостаточно, т.к. этим аксиомам удовл также множество Q рациональных чисел. Данное рассуждение показывает независимость аксиомы (18) от предыдущих аксиом.

28.1 Элиминация кванторов.

Оказывается, в некоторых моделях M для всякой формулы ϕ УИП, существует эквивалентная ей в этой модели формула ϕ′, не содержащая кванторов (то есть где x1 … x n – все свободные переменные ϕ′ и ϕ). В этом случае мы будем говорить, что M допускает элиминацию

кванторов.

Теорема.. Модель <Z,=,S, 0> допускает элиминацию кванторов. Док-во. Используем: для всякого терма t и нат числа n: Sn (t) = S(…(S(t))…), где S повтор n раз. Пользуемся тем, что в <Z,=,S, 0> t = s ≡ S(t) = S(s).

Инд по кол-ву кванторов в формуле. От квантора ∀ в любой ф-ле можно избавиться,заменив формулу ∀xτ на эквивал формулу ¬∃x ¬τ. Бескванторную ф-лу можно привести к ДНФ. Ф-ла ∃x∨…∨ эквив (∃x ) ∨..∨ (∃x ). Т.о.,

достаточно док-ть, что ∃ эквивал бескванторная ф-ла для ф-лы ϕ(x1 ..xk ) вида элемент конъюнкция атом формул и их отрицаний.

Атом ф-лы, содержащие переменную x, имеют один из двух видов:

Sn (x) = Sm(x), или Sn (x) = Sm(v), где v = или v = 0.

Всякая ф-ла первого вида либо тожд истинна (если n = m), либо тожд ложна, поэтому её можно замен на эквивал ф-лу, не содерж x : 0 = 0 или ⊥ .Т.о.,можно считать, что все – ф-лы второго вида или их отрицания.

Если все – отрицания, то ∃x σ тождественно истинна и эквивалентна 0 = 0. Последний случай на примере:

28.1 Элиминация кванторов.

Теория наз-ся разрешимой, если ∃ алгоритм, который для каждой замкнутой ф-лы ϕ опр-т, истинна она или ложна.

Следствие. Теория целых чисел с отношением равенства =, функцией следования S(x) и константой 0 разрешима.

Доказательство. Искомый алгоритм состоит из следующих шагов.

1. Построим ϕ′ по приведённому выше алгоритму. Поскольку ϕ замкнута, то ϕ′ тоже замкнута.

2. Поскольку замкнутая бескванторная формула не содержит переменных вообще, все атомарные

подформулы ϕ′ имеют вид Sn (0) = Sm(0). Они либо тождественно ложны, либо тождественно истинны.

3. Подставив вместо атомарных подформул их значения истинности, мы можем установить значение истинности ϕ′ с помощью таблиц истинности.