МЛИТА / fv

32.1 Теорема Лося

32.3

… Положим

I

2

{i | ( a 1 , ... , a k

) И } .

Из вида формулы

i

i

Пусть

–

ультрапроизведение моделей

одной и той же

следует, что I 1

I 2 . Так как

I 1 U ,

то I 2

U .

сигнатуры

, .

Формула

( x1 , ... , x k )

данной

сигнатуры

Наоборот, пусть I

2

{i | ( a

1 , ... , a k ) И } U .

Тогда для i I

2

i

i

истинна на наборе

1

k

в том и только в том случае, если

[ ( a i ) ] , ... , [ ( a i ) ]

найдём такое b

,

что ( b

, a 1 , ... , a k

) И } . Для

i I

\

I

в

i

2

{i | ( a i1 , ... , a ik ) И } U .

i

i

i

качестве b

i

возьмём любые элементы. Пусть

Доказательство. Избавимся в формуле

от связок

и

и

I

{i | ( b

, a

1 ,

... , a k

) И } .

Тогда I

I

.

Так как

I

U , то

1

i

2

1

2

квантора ,

пользуясь эквивалентностями

1

2

( 1

2 ) ,

i

i

I

U . Следовательно, выполнено (1) .

x . Дальнейшее доказательство

1

1

2 1 2 ,

x

проведём индукцией по длине формулы

,

понимая под длиной

количество связок ,

и кванторов , входящих в формулу.

Пусть – атомарная формула, то есть

( x1 , ... , x k ) P ( t1 ( x1 , ..., x k ) , . . . , t n ( x1 , ..., x k ) ) ,

где P

– n-местный предикат, а t1 , ... , t n

– термы. Выясним, когда

формула ( x

1

, ... , x

k

)

истинна на наборе

x

1

[ ( a

1 ) ] ,

. . . ,

x

k

[ ( a k

) ] .

i

i

Это будет в том и только в том случае, если

{i | P ( t ( a

1

, ..., a k

) , . . . , t

n

( a

1

, ..., a k

) ) И } U , ч. т. д.

1

i

i

i

i

Пусть теперь ( x1 , ... , x k

) = ( x1 , ... , x k ) . Тогда

[ ( a i1 ) ] , .. , [ ( a ik ) ]

И

[ ( a i1 ) ] , .. , [ ( a im ) ]

Л

(по

предположению индукции)

33.1 Теорема Гёделя – Мальцева и следствие

34.1 Аксиоматизируемые и конечно аксиом-е классы моделей

Предложением мы будем называть замкнутую формулу, т.е. формулу,

Класс моделей одной сигнатуры аксиоматизируемый, если он может

быть задан совокупностью аксиом – предложений логики первого

не

содержащую

свободных

переменных.

Теорией

будем

называть

порядка. Класс моделей конечно аксиоматизируем, если он задаётся

совокупность

предложений

(конечную

или

бесконечную)

одной

конечным числом аксиом (пр: группы, кольца, поля, тела)

сигнатуры. Будем говорить,

что теория T

имеет модель M , если

Нельзя однозначно описать множество действительных чисел(R) в

все предложения теории T

истинны на M .

Далее, если T

– теория, а

какой-либо сигнатуре с помощью конечного или счётного числа аксиом

Ф – замкнутая формула УИП, то мы пишем

T | ,

если

Ф

истинна

в логике первого порядка. Класс состоящий из единственной модели R

на любой модели теории

T , т.е.

Ф истинна на любой модели,

на

не будет аксиоматизируем.

Теорема: Для любой теории Tв логике первого порядка с конечным

которой истинны все формулы из T .

или счётным числом аксиом, если R – модель Т, то у T есть так же

Теорема: Если каждое конечное подмножество T 0

T имеет модель,

модели, неизоморфные R.

то теория

T

имеет модель.

Доказательство: По теореме Лёвенгейма – Скулема о понижении

мощности у теории Т существует счётная модель, очевидно

Доказательство. Пусть I – множество всех конечных подмножеств

низоморфная R. Будем использовать для абелевых(коммутативных)

множества T

и G

– модель для I .

Для формулы T

пусть

групп аддитивную запись, т.е. сигнатуру

. Тогда класс абелевых

S

{ I |

истинна на G

} . Проверим, что { S

| T } –

групп может быть задан аксиомами: (1)

(2)

,(3)

, (4)

центрированная система подмножеств множества I .

Действительно,

следовательно, класс абелевых групп конечно аксиоматизируем.

рассмотрим конечное подмножество

Тогда

{ S

,

... , S

} .

Абелева группа А делимая, если

и натурального n,

1

n

разрешимо в А. В этой сигнатуре нет сорта натуральных чисел, поэтому

{ 1 , ... , n } I .

Значит, формулы 1 ,

... , n

истинны на

не будет формулой данной сигнатуры. Однако

модели G

,

следовательно,

S

... S

.

Таким образом,

для делимых групп можно записать бесконечный набор аксиом –

1

n

предложений УИП: (52)

итп

... S

.

Мы показали, что { S

| T }

–

S

В силу теоремы компактности класс делимых абелевых групп не может

1

n

центрированная система. По теоремам 1 и 2 эту систему можно

быть задан конечным числом аксиом в логике первого порядка.

35.1 Машины Тьюринга и вычис-е функции. Алгоритм. Тезис Чёрча

36.1 Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии

Машина Тьюринга так же, как и конечный автомат, является

Оператор

суперпозиции.

Пусть даны

функция

от

k

дискретным устройством преобразования информации.

f ( x1

, ... , x k )

Машиной Тьюринга называется частичное отображение (множество

переменных

и

k

функций

f1 ( x1 , ... , x n ) , ... , f k ( x1 , ... , x n )

от

n

переменных..

Суперпозицией

функций

называется

M

f , f

,

... , f

состояний){0 , 1, ... , n 1} {0 , 1} {0 , 1, ... , n 1} { , } {0 , 1} .

1

k

Где ,

обозначает “лево”, “право”. Тот факт, что отображение M

функция ( x1 , ... ,

x n )

f (

f1 ( x1 , ... , x n ) , ... ,

f k ( x1 , ... , x n ) ) .

частичное, означает, что M

может быть определено не для всех

Мы

говорим,

что

функция

получается

применением оператора

наборов аргументов. Машина Тьюринга M

работает с бесконечной в

суперпозиции

S

k 1

к

функциям

f

,

f1 ,

... , f k ,

и

пишем

обе стороны лентой, разбитой на ячейки, в каждой из которых написан

S k 1 (

S 2

один из символов 0, 1. Считывающая головка машины обозревает в

f , f

1

, ... ,

f

k

) .

Например,

(s,o)

– это функция ( x )

s(o

каждый момент времени одну из ячеек и за один такт, сменяющий два

( x ) ) ,

т.е. функция,

тождественно равная 1, а

S 2

(s,s)

–

это функция

последовательных момента времени, может перемещаться влево или

вправо. Машина Тьюринга в каждый момент времени находится в

( x ) x 2 .

одном из состояний q 0 , q1 , ... , q n 1 ,

а в следующий момент времени

Оператор примитивной рекурсии. Пусть даны функции

g ( x1 , ... , x n )

переходит в другое состояние или остаётся в том же. Кроме того,

и

Построим

функцию

Пусть

машина может изменять символ, стоящий в обозреваемой ячейке. Все

h ( x1 , ... , x n

2 ) .

f ( x1 , ... ,

x n 1 ) .

эти преобразования – изменение состояния, информация на ленте,

зафиксированы значения x

1

,

... , x

n

. Тогда положим:

направление движения полностью определяются отображением M .

А

f ( x1 , ... , x n , 0 )

g ( x1 , ... , x n ) ,

именно, если M ( i , )

( j , , ) , то в случае, когда машина находится в

f ( x1 , ... , x n , y 1) h ( x1 , ... , x n , y , f ( x1 , ... , x n , y ) ) .

состоянии q i ,

а на обозреваемой в данный момент ячейке написан

Эти

равенства

определяют

функцию

f ( x1 , ... , x n 1 )

однозначно.

символ ,

машина должна записать в эту ячейку

вместо ,

перейти

Функция f

называется функцией, полученной с помощью оператора

в состояние

и сдвинуться на одну ячейку влево.

q j

примитивной рекурсии. Используется запись

f

R ( g , h ) .

R

32.2 … {i | ( a 1 , ... , a k

) И } U

(по th3: Фильтр U на множестве X

i

i

является ультрафильтром

если для любого

A X

либо A U ,

либо

X \ A U . )

{i | ( a

1 ,

... , a k )

Л } U

i

i

{i | ( a

1 , ... , a k )

И } U ,

ч.т.д.

i

i

Если

1

2 ,

то

[ ( a i1 ) ] , .. , [ ( a ik ) ]

И

1

[ ( a i1 ) ] , .. , [ ( a ik ) ] =

1

k

) ]

Пусть

1

k

и

2

И .

I1

{i | 1 ( a i

, ... , a i ) И }

[ ( a i

) ] , .. , [ ( a i

I

2

{i |

2

( a 1

,

... , a k

)

И }

По

предположению

индукции

i

i

1

k

) ]

И

I 1 U

и аналогично для

2 .

Значит,