Добавил:

Eldrinn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

Высшая математика

Файл:

2298 ЭИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2018

Размер:

856.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

З А Д А Н И Е № 2

Решить систему линейных уравнений

a11x1 + a12 x2 + a13x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33x3 = b3

методом Крамера. Сделать проверку. Коэффициенты системы приведены в таблице 1.

Таблица 1

№ варианта	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	b1	b2	b3
	Коэффициенты системы линейных уравнений


2.1.	3	–1	1	2	–5	–3	1	1	–1	4	–17	0

2.2.	1	1	1	2	–1	–6	3	–2	0	2	–1	8

2.3.	2	–1	–3	3	4	–5	0	2	7	3	–8	17

2.4.	1	1	1	2	–1	1	1	–1	2	6	3	5

2.5.	2	1	–3	1	2	1	3	–1	2	7	4	–1

2.6.	1	1	1	2	3	–4	3	2	2	2	–4	7

2.7.	3	–1	0	–2	1	1	2	–1	4	5	0	15

2.8.	2	–1	1	1	–3	–5	3	1	–7	8	6	–4

2.9.	4	3	–9	2	3	–5	1	8	–7	9	7	12

2.10.	3	2	1	2	3	1	2	1	3	0	2	2

2.11.	1	–2	3	2	3	–4	3	–2	–5	–7	17	5

2.12.	4	–3	2	2	5	–3	5	6	–2	–7	12	16

2.13.	1	1	2	2	–1	2	4	1	4	8	6	18

2.14.	2	–1	–1	3	4	–2	3	–2	4	0	–5	–5

2.15.	3	4	2	2	–1	–3	1	5	1	24	2	26

2.16.	1	1	–1	8	3	–6	–4	–1	3	–2	3	–3

2.17.	1	–4	–2	3	1	1	–3	5	6	1	–9	11

2.18.	7	–5	1	4	1	–1	2	3	4	0	7	–3

2.19.	1	2	4	5	1	2	3	–1	1	6	12	1

2.20.	3	4	1	–1	1	0	–2	0	1	–1	3	5

2.21.	–1	2	1	7	–10	–5	4	–7	–6	0	–2	–8

№ варианта	Коэффициенты системы линейных уравнений

	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	b1	b2	b3

2.22.	1	–1	–3	2	–1	–2	–1	3	2	10	9	–5

2.23.	–1	3	5	2	–3	–7	2	–3	–5	–9	12	10

2.24.	1	–1	3	2	–5	1	–1	4	–1	–2	–2	3

2.25.	1	1	2	–1	2	1	4	–3	2	1	–4	9

2.26.	2	1	–2	1	–3	0	0	3	–1	–9	20	–22

2.27.	3	7	6	4	2	1	2	3	7	2	–4	9

2.28.	4	3	1	2	1	3	3	2	4	1	5	7

2.29.	–1	2	4	–3	2	1	4	6	3	9	1	16

2.30.	3	2	1	2	1	6	4	0	2	6	9	6

З А Д А Н И Е № 3

Решить систему линейных уравнений

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

матричным методом. Коэффициенты системы приведены в таблице 1.

З А Д А Н И Е № 4

Решить систему линейных уравнений

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

методом Гаусса. Коэффициенты системы приведены в таблице 1.

З А Д А Н И Е № 5

Решить систему линейных уравнений АХ = В, заданной расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. Сделать проверку.

		1

	1
5.1.		2
5.1.		2
		− 1

		4
		4
		−1

	1
5.3.		2
5.3.		2
		− 2

		−1
		−1
		2
		− 2
		− 2
5.5.		1
5.5.		1
		−1

		2
		2
		− 2

	1
5.7.		2
5.7.		2
		1

		0
		0
		0
		− 1
		− 1
5.9.		2
5.9.		2
		0

		1
		1

− 3

5.11. 0

0	1	0	2	1
2	0	1	0	0

1	1	1	1	1		.
1	−1	1	−1	0

4	2	3	4	3

0	1	2	0		1

1	0	1	0		0

2	0	−1	1		−1 .
1	1	0	− 1
					2
4	3	4	0		3

1	0	0	1			−1

1	1	−1	0		1

0	− 1	2	1		0		.
−1	1	1	− 2
						1
2	1	2	1		0

0	0	1	2			1

1	−1	−1	0
						−1
1	1	0	−1	0			.
−1	1	0	1
						1
1	1	1	4	2

1	2	1	1			1

0	1	0	1			− 1

− 1	0	− 1	−1	0			.
1	− 2	0	− 3	− 2

2	3	1	−1			− 1

1	0	1	2			− 2

1	0	− 1	− 1			2

−1	1	1	− 1			1	.
0	− 1	− 2	1
						0
2	0	0	3
						−1

−1

5.2. 2

−1

5.4. 2

−10

−1

5.6. 1

−13

−1

5.8. 2

− 2−1

− 1

5.10. − 2

5.12. − 2

−11

0	1		0	2				0
1	−1		1 −1					1

1	0		−1	1			− 2			.
−1	1		−1	0
								0
1	2		−1	4			−1

1	1	0	1		− 2

0	1	1	1		1

− 1	0	1	1		0			.
2	1	0	− 1
					− 1
3	4	2	3		− 4

1	0		1	−1					0

2	1		0	1
									−1
− 2	1		− 2	0				1			.
0	− 1		0	2
									1
2	1		0	1				1

1	2		1	0					1

1	0		−1	2				0

−1 − 1 0 −1						− 2					.
−1	1		0	1
									0
1	4		1	2				0

1	−1		0		− 2				− 3

0	1		− 1	0				1

−1	0		2	1				1			.
1	1		0	1				0

2	0		1		− 2
									− 4
0	0		1		− 1				1

1	1		0	1
									− 3
1	− 1		1	0					1		.
− 2	0		− 3		− 1
									0
0	0		0		− 2				0

		1
		− 2
		− 2
5.13.		1
5.13.		1
		1

		2
		2
		0

	1
5.15.		− 2
5.15.		− 2
		0

		− 1
		− 1
		0

	1
5.17.		− 2
5.17.		− 2
		2

		1
		1
		2
		− 3
		− 3
5.19.		1
5.19.		1
		0

		2
		2
		1

	0
5.21.		−1
5.21.		−1
		− 2

		−1
		−1
		2

	0
5.23.		− 2
5.23.		− 2
		1

		3
		3

2	0
0	1
− 2	1
− 1	−1
1	1
1	1
1	1
−1	0
−1	−1
1	2

1 1

−1 − 1

1 0

−3 −1

1	1
0	0
−1	− 2
2	−1
1	1
1	2
−1	0
0	− 3
2	1

−1 −1

0− 2

2−1

1	−1
1	0
−1	1
0	1
2	0
1	1
1	1
− 1	0
0	1
1	0
2	3
1	2
− 1	− 2
− 2	−1
1	1

0	− 2
−1	1

− 1	− 2
1	0
1	− 1

−1

−2

1 −1 . 1 1

0 − 2 . 1 1

1 − 1 . 1 1

−1

− 2

0 .

− 3 0 .

		− 2

	0
5.14.		1
5.14.		1
		2

		− 1
		− 1
		1

	0
5.16.		− 3
5.16.		− 3
		− 1

		− 2
		− 2
		1

	0
5.18.		−1
5.18.		−1
		0

		1
		1
		1

	0
5.20.		− 1
5.20.		− 1
		2

		3
		3
		1

	0
5.22.		− 2
5.22.		− 2
		0

		0
		0
		3
		− 2
		− 2
5.24.		−1
5.24.		−1
		−1

		2
		2

1	1		0	1		1
− 1	1		0	− 1			0

0	0		1	0		− 2		.
1	− 1		− 2	1
							0
2	2		− 1	2			0

0	1	0	1		− 1

1	0	1	0			1

1	− 1	1	0			1	.
0	1	0	− 3
						1
2	2	2	− 1			1

2	1		0	1		− 3

− 1	− 1		1	−1			0

0	− 1	− 1		− 3			2	.
− 1	0		1	2
							1
2	0		1	0
						− 3
− 1	1		0	2			0

1	−1		1	− 1			1

0	2	− 1		− 1		− 2		.
1	1		1	0
							1
0	2		1	2			1

1	0		0	1			1

− 2	1		0	−1			0

1	−1		3	−1		− 2 .
1	1		−1	1			1

2	1		2	1			1

0	0		1	− 2			1

1	1		0	−1			2

−1	−1		−1	4			0	.
1	0		0	−1
						− 3
1	0		1	− 2			1

− 2

5.25. −1

− 3

5.27. 0

− 2

5.29. −1

2	0	1	2				1			0	1	0 1 0				2

−1 1		0 − 3								1	0	1 0		1		0
							2
0	− 2	−1	1						5.26.	−1	1	0 −1		1		− 2
							− 3 .											.
1	1	1	1				−1			1	−1 2 1 0					1

4	0	2	3							1	2	3 2 2				3
							0

0	3	1	0			3				1	0	1	0		− 1			1

1	0	0	1		−1					− 2 1		0 −1 1					− 4

−1	− 2	−1	−1		− 4				5.28.	0	− 2	−1	1		0			2
								.											.
1 −1 1			0		0					1	1	1	1			1	1

1	3	2	0	1						1	0	2	1		0		1


1	0	0	− 2				1			0	1	2	1		0			1

−1 1 1 0										1	− 1 0		1 −1				0
					− 2
−1	− 2	0	2			1			5.30.	1	0	− 1	− 1		1			2
								.											.
0	1	1 −1			1					−1 1 − 1 0					1		−1

0	0	2 − 3			2					1	2	2	2		1			3


	2 . М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
	К К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Е № 1
	2 . 1 .		Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

Прямоугольной m × n матрицей называется таблица чисел

a		a		...	a
	11		12		1n
A = a21		a22		...	a2n	,
a	m1	a	m2	...	a
	m1		m2		mn

содержащая m строк и n столбцов.

Числа aik называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает

номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k – номер столбца.

Матрица A называется квадратной матрицей n-го порядка, если m = n.

Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если aik = 0 при i ≠ k . Она выглядит следующим образом:

a		0	...	0
	11	a22
	0	a22	...	0
A =		...	...	...	.
n× n ...		...	...	...
	0	0	...	ann
		15

Элементы матрицы, для которых i = k называются диагональными и образуют главную диагональ.

Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее диагональные элементы равны единице (aii = 1, i = 1, n) :

	1	0	...	0
	0	1	...	0
	E =	...	...		.
	n× n ...	...	...	...
	0	0	...	1
Суммой m × n матриц A = (aik )		и B = ( bik ) называется m × n матрица
C = (cik ) с элементами
	cik	= aik	+ bik .		(2.1)
Произведением	m × n матрицы A на число λ называется m × n матрица
В, для которой bik	= λaik .
Произведением m × n матрицы A = (aij )			на n × p матрицу B = (bij ) называ-

ется m× p матрицаС, элементы cij	которойвычисляются согласно следующему
правилу: каждый элемент cij равен сумме произведений элементов		i-ой строки
матрицыАнасоответствующиеэлементыj-огостолбцаматрицыВ
n
cij = ∑aikbkj	= ai1b1 j + ai2b2 j + K+ ainbnj .	(2.2)

k =1

При решении многих математических задач возникает необходимость в сопоставлении квадратной матрице некоторого числа, называемого определителем. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

a	b
A = 1	1	.
a	b
2	2

Определителем (детерминантом) второго порядка матрицы А называется число

a1b2 − a2b1 .

Определитель обозначается следующим образом:

a		b	a	b	= det A	= .
a	1	1	= det 1	1	= det A	= .
a	2	b	a	b
	2	2	2	2

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вводится с помощью формулы

a1 b1 c1

a2 b2 c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3 , a3 b3 c3

которая легко записывается с помощью правила треугольников:

•

• • •

−

• • •

•

П р и м е р . Вычислить определитель по правилу треугольников

1	0	−1	= 1 2 1+ 1 0 1+ 0 2 (−1) −1 2 (−1) −
1	0	−1
0	2	3
1	2	1

−0 0 1− 1 2 3 = 2 + 0 + 0 + 2 − 0 − 6 = −2 . v

Минором Mik элемента aik определителя n-го порядка называется оп-

ределитель (n – 1)-го порядка, который получается из				вычеркиванием i-ой
строки и k-ого столбца.
Алгебраическим дополнением Aik	элемента aik			называется его минор
Mik , умноженный на (−1)i+k :
A = (−1)i+k M		ik	.
ik		ik

Нетрудно видеть, что знаки, которые следует ставить перед соответствующими минорами при вычислении алгебраических дополнений, чередуются в шахматном порядке.

Для вычисления определителей второго и третьего порядков существуют простые правила. Приведем теорему, облегчающую процедуру вычисления определителей более высоких порядков.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения

= ∑aik Aik = a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank i=1

(разложение по элементам k-ого столбца),

= ∑aik Aik = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain k =1

(разложение по элементам i-ой строки). p

П р и м е р . Вычислить определитель разложением по элементам первой строки

1	3	1		−1 2			2	2		2	−1
1	3	1
2	−1 2		= 1			− 3			+ 1			=
3	0	1		0	1		3	1		3	0
3	0	1

= 1(−1 1− 0 2) − 3(2 1− 3 2) + 1(2 0 − 3(−1)) = −1+ 12 + 3 = 14. v

С помощью определителей удобно записывать решение систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11x + a12 y + a13z = b1,a21x + a22 y + a23z = b2 ,a31x + a32 y + a33z = b3.

Обозначим через

x , y ,

z определитель системы

и вспомогатель-

ные определители, полученные из

заменой столбца коэффициентов при

соответствующей неизвестной столбцом свободных членов:

a11

a12

a13

a12

a13

a21

a22

a23

x =

a22

a23

(2.3)

a31

a32

a33

a32

a33

a11

a13

a11

a12

a21

a23

z =

a21

a22

(2.4)

a31

a33

a31

a32

Будем считать, что ≠ 0.

Решением системы является совокупность значений х, у, z, определяемая так называемыми формулами Крамера

x = x , y = y , z = z , ≠ 0.

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными

a11x1 + a12 x2						+ ... + a1n xn = b1,
a21x1		+ a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a	x	+ a	n2	x	2	+ ... + a	nn	x	n	= b .
	n1 1									n

Введем соответствующие этой системе матрицы

a		a
11		12
a21		a22
A =
... ...
a	n1	a
		n2

...	a
	1n
...	a2n
...	...	, X
...	a
	nn

	x			b
	1			1
=	x2		B =	b2
=	...	,	B =	... .
	x			b
	n			n

Тогда систему можно записать в матричной форме

АХ = В.

Для решения матричного уравнения умножим обе части этого равенства слева на некоторую матрицу A−1 :

A−1 AX = A−1B,

(2.5)

а затем подберем (если это удастся) матрицу A−1	так, что
A−1 A = E ,	(2.6)
где Е – единичная матрица.
Тогда из (2.5) сразу получим решение
X = A−1B.

Матрица A−1 , удовлетворяющая условию (2.6), называется обратной матрицей для матрицы А.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ:

1)вычислить det A и убедиться в том, что det A ≠ 0 (если det A = 0, обратная матрица не существует);

2)найти транспонированную матрицу АТ, т. е. матрицу, в которой строки меняются со столбцами (с теми же номерами)

a	a
11	12
A = a21	a22
a	a
31	32

a13 a23 a33

	a	a
AT	11		21
AT	= a12	a22
	a	a	23
	13		23

a31 a32 ; a33

3) построить союзную (присоединенную) матрицу A путем замены в матрице АТ каждого элемента его алгебраическим дополнением:

~	A	A	A
~	11	21	31	;
A =	A12	A22	A32	;
	A	A	A
	13	23	33

4) вычислить обратную матрицу по формуле A−1 = A . det A

Рассмотрим СЛУ m уравнений с n неизвестными

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1,
a		x + a		22	x	+ ... + a	2n	x	= b ,
		21 1		22	2		2n	n	2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a		x + a	m2		x	+ ... + a		x	= b .
	m1 1		m2		2		mn n		m

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.

Будем называть элементарными следующие преобразования:

9перестановка строк местами;

9умножение элементов какой-либо строки на одно и то же число не равное нулю и прибавление к соответствующим элементам другой строки.

3 . Р Е Ш Е Н И Е Т И П О В О Г О В А Р И А Н Т А К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Ы № 1

2 З а д а н и е 1 .		Вычислить D = (αA + βB)T C, где α = 3,						β = −1/ 2 ,
−1 4 0		2	,	8 − 2 2	0	5	1	4
A =	− 1 1		,	B =		, C =	2	.
5	− 1 1	−1		− 4 6 2	4	0	2	− 3

Р е ш е н и е . Выполним указанные операции с матрицами по действиям. Найдем сначала αА и βВ

	− 1 4 0		2		− 3 12 0		6	;
αА = 3		5 − 1 1		=	15 − 3	3
			−1				− 3
	1	8 − 2 2	0		− 4 1	− 1	0
βB = −		− 4 6 2		=	2 − 3	− 1	− 2	.
	2
			4

Далее найдем сумму матриц αА + βВ по формуле (2.1) и протранспонируем ее, т. е. строки заменим столбцами (с теми же номерами)

− 3 12 0

− 4 1

−1

− 7 13

−1 6

;

αA + βB =

− 3 3

− 3

−1

− 2

− 6 2 − 5

− 3

	− 7		17
T		13	− 6
(αA + βB)	=	−1	2	.
		−1	2
		6	− 5

Устанавливаем возможность выполнения действия умножения матриц. Первая матрица ((α A + βB)T) имеет порядок 4 × 2, вторая (С) – 2 × 3. Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; врезультатеумножения получается матрица порядка4 × 3. Следовательно,

				− 7		17
		T	C =		13 − 6 5 1 4				=
		(αA + βB)	C =						=
					−1 2 0 2		− 3
					6	− 5
	− 7 5 + 17 0	− 7 1+ 17 2			− 7 4 + 17 (− 3)			− 35 27 − 79
	13 5 + (− 6) 0 131+ (− 6) 2 13 4 + (− 6) (− 3)								65	1	70
=	− 15 + 2 0	−1 1+ 2 2			−1 4 + 2 (− 3)		=	− 5		3	− 10 .
	6 5 + (−5) 0	6 1+ (−5) 2			6 4 + (−5) (− 3)			30		− 4	39
								− 35		27	− 79
						Ответ:	D =		65	1	70
						Ответ:	D =				. v
									− 5	3	− 10
									30	− 4	39
					20

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
08.04.2018603.35 Кб552253 ЭИ.pdf
#
08.04.2018856.81 Кб362298 ЭИ.pdf
#
08.04.2018592.26 Кб362468.pdf