Символический метод расчета цепи переменного тока

Запись переменных сигналов в виде тригонометрических функций не удобно для решения задач, поэтому любую синусоидальную функцию можно представить в виде комплексного числа. Существует 3 формы записи. Обозначим комплексной число 1) z=x+jy. X – действительная часть y – мнимая часть, j – мнимая единица.

2) z=|z|cosφ+j|z|sinφ. φ – аргумент (начальная фаза сигнала) arctg y/x, если z э 1 или 4 четверти

φ=arctg y/x+π, если z э 2 четверти

φ=arctg y/x-π, если z э 3 четверти

|z| - модуль комплексного числа соответствует действующему значению тригонометрической функции.

|z|=

3) показательная форма записи z=|z|*e^iφ

ϕ

Имея показательную форму записываю алгебраическую или тригонометрическую форму.

Задание: написать тригонометрическую функцию в виде комплексного числа в 3х формах.

Замечание: комплексная форма записи не учитывает период и частоту изображенных синусоидальных сигналов

U=1,78*е^120j=1,78*cos120+1,78jsin120=-0,89+1,53j

Операции с комплексными величинами

U1=10+5j U2=3-8j

1. Сложение U=U1+U2=10+5j+3-8j=13-3j

2. Вычитание U=U1-U2=10+5j-(3-8j)=10+5j-3+8j=7+13j

3. Умножение U1*U2=(10+5j)(3-8j)=30-80j+15j+40=70-65j

4. Деление U1/U2=(10+5j)(3+8j)/(3-8j)(3+8j)=30+80j+15j-40/9+24j-24j+64=-10+94j/73=-0,137+1,3j

Элементы цепи переменного тока

Учитывает превращение энергии в тепло

j=Im*sinωt u=Um*sinωt, где Um=Im*R

Резистор не вносит дополнительного сдвига фаз и напряжение, и ток на нем совпадает по фазе

φ=0 – угол сдвига. Для цепей переменного тока изображаются векторные диаграммы. На них откладываются вектора сигналов с учетом нужного угла.

Катушка индуктивности.

L индуктивность L [Гн] герни

L=

u=Um*sinωt u=L i=sin(ωt+π/2)

Im=гдеωL=Xl – индуктивное сопротивление

U=U если нач фаза=0 I=Ie^-j

Катушка создает сдвиг фазы равной 90 . При подаче синусоидального напряжения на катушку ток также синусоидален, но отстает от напряжения на 90 градусов. На векторной диаграмме отстающий вектор изображается по ходу часовой стрелки.

Изобразим 2 схемы

t

Часто требуется определить по осциллографу угол сдвиг фаз между 2мя сигналами. Для этого используем поворот полу периода на целое число клеток, зная, что в одной клетке 5 делений определяем угол с высокой точностью. Из двух синусоид опережающей по фазе является та, которая раньше достигает своих положительных значений при переходе через 0.

Помимо индуктивного сопротивления X_L часто используется комплектное сопротивление в катушке. Обозначается z_L=jXL=jωL. По закону Ома I=

Конденсаторы

Емкость C [Ф] Фарад

U=Um*sinωt

U_C=∫jdt

I=*sin(ωt-π/2)

Очевидно, что как и катушка конденсатор является фазой сдвигающим элементом. Напряжение и ток синусоидальные, но ток опережает напряжение на π/2

X_C=– емкостное сопротивление. Используется комплексное сопротивление конденсаторов

Z_C===-jX_C

X_L=ωL

X_C=ω=0 X_L=0 X_C=∞

Последовательное соединение r,l,c элементов

по закону Ома

- полное сопротивление

= R+z_L+z_{C ,} где z_L=jXL=jω_L z_C=-jXc₌ z=R+jωL=R+j(ωL)=R+jx

где X=ωL=X_L-X_C Х – реактивное сопротивление RLC – цепи Если X_L>X_C, то ток будет отставать от напряжения и цепь носит индуктивный характер <φ намного меньше π/2.

X_L<X_C цепь носит емкостной характер и ток наоборот опережает напряжение.

При расчете цепей под действующем значением используется модуль

, где =R*=jωL*=jωC*

Покажем это на векторной диаграмме. Пусть для определенности >>Определим угол сдвига фаз φ между входным напряжениеми током. Выберем горизонт направления расположения вектора тока.