ИПОВС - 6 семестр / Пособие / G3

f ([(a1i )], ,[(ain )]) [( f (a1i , , ain ))],

P([(a1i )], ,[(ain )]) {i:I | P(ai1, , ain )} .

Надо доказать корректность этого определения, т.е. независимость значения функции

(x1, , xk ) данной сигнатуры истинна на наборе [(a1i )], ,[(aik )] в том и только в том слу-

чае, если {i:I | (ai1, , aik )} .

Доказательство. Избавимся в формуле от связок и и квантора , пользуясь

рого [(ai )] Mi . Зафиксируем набор (ai ). Пусть выполнено ([(ai )],[(ai1)], ,[(aik )]).

71

Напротив, пусть I2 {i | (a1i , , aik )} . Тогда для всякого i I2 найдётся такое ai ,

что (bi ,ai1, ,aik ). Для i I \ I2 в качестве ai можно взять любые элементы. Пусть I1 {i | (bi , ai1, , aik )}. Тогда I2 I1. Так как I2 , то I1 .

Следствие. Если формула (x1, , xk ) для каждого i истинна на наборе (ai1, , aik ) в

По теореме Лося ультрапроизведение полей является полем (так как поле задаётся девятью аксиомами логики первого порядка), а ультрапроизведение линейно упорядоченных множеств линейно упорядочено (линейная упорядоченность определяется четырьмя аксиомами УИП).

3.9. Теоремы Лёвенгейма – Скулема

Пусть A – модель сигнатуры , где Ф – множество символов операций, а – множество символов отношений. Подмножество B A называется функционально замкнутым, если для любой п-арной операции f и любых элементов b1, ,bn B имеет ме-

сто включение f (b1, ,bn ) B. Другими словами: применение операций из к

элементам из B не должно выводить за пределы множества B. Понятие функционально замкнутого подмножества (непустого) обобщает такие понятия, как подполугруппа, подалгебра. Действительно, непустое подмножество A полугруппы S со свойствомa,b a,b A a b A – это и есть подполугруппа. Для подкольца это уже неверно. Так,

если кольцо рассматривать в сигнатуре , , то – функционально замкнутое подмно-

жество кольца , но не подкольцо. Рассмотрим теперь понятие подгруппы. Если группу рассматривать в сигнатуре , то понятие функционально замкнутого подмножества

(непустого) будет совпадать с понятием подполугруппы, а если взять сигнатуру , 1 , то

непустые функционально замкнутые подмножества будут в точности являться подгруппами. Что касается понятия подполя, то совершенно непонятно, как подобрать сигнатуру, чтобы подполя совпадали с непустыми функционально замкнутыми подмножествами. Подполе – это подмножество поля, которое удовлетворяет аксиомам поля. Это наводит на мысль рассматривать подмножества модели, “замкнутые относительно формул”, но об этом мы будем говорить позже, а сначала докажем лемму, касающуюся функционально замкнутых подмножеств. Алфавит переменных, участвующий в построении формул, бу-

72

f (b1, ,bn ) B. Следовательно, В функционально замкнуто.

Подмножество В модели А называется экзистенциально замкнутым, если для любой формулы (x, x1, , xn ) логики первого порядка и любых элементов b1, ,bn B, если существует такое a A, что (a,b1, ,bn ), то существует такое b B, что (b,b1, ,bn ).

Лемма 2. Пусть A – модель сигнатуры , , – бесконечная мощность и B0 –

подмножество множества A такое, что | B0 | . Если | |, | | , то A имеет экзистен-

циально замкнутое подмножество B такое, что B0 B и | B | .

Доказательство. Так как | |, | | , то мощность множества всех формул также

при некоторых b1, ... ,bn B и a A. Очевидно, найдётся такое t, что b1, ... ,bn B(t). Но

тогда (c,b1, ... ,bn ) И для элемента с c( ,b1, ... ,bn ) B(t 1). Так как c B(t 1) , то c B. Следовательно, B экзистенциально замкнуто.

Следующая теорема утверждает (при определённых условиях) существование подмодели

Доказательство. Пусть B0 – любое непустое подмножество множества A, удовле-

творяющее условию | B0 | (например, в качестве B0 можно взять одноэлементное под-

(b1, ,bn ) x (x,b1, ,bn ) истинна на B.

Теперь выведем из этой теоремы теорему Лёвенгейма – Скулема о понижении мощности.

Теорема 7 (теорема Лёвенгейма – Скулема о понижении мощности). Пусть T –

множество предложений (замкнутых формул) сигнатуры , , – бесконечная мощность и | T | . Если существует какая-нибудь модель A, в которой все предложения из T истинны, то существует модель B мощности (возможно, другой сигнатуры), в которой также все предложения из T истинны.

Доказательство. Пусть 0 , 0 – множества символов операций и отношений, вхо-

дящих в формулы из T. Рассмотрим A как модель сигнатуры 0 0 , 0 . Очевидно,

| 0 |, | 0 | . По предыдущей теореме существует экзистенциально замкнутая подмодель

B мощности . Ясно, что в модели B истинны все утверждения из T.

Пусть , – сигнатура, в которую входит отношение равенства. Модель этой

сигнатуры называется нормальной, если в ней a b в том и только том случае, если элементы a и b совпадают (представляют собой один и тот же элемент).

Теорема 8 (теорема Лёвенгейма – Скулема о повышении мощности). Пусть T –

множество замкнутых формул сигнатуры , , содержащей отношение равенства,

и – бесконечная мощность. Если существует бесконечная нормальная модель A, в которой все предложения из T истинны, то существует нормальная модель B мощностис этим свойством.

присвоив константам с разными индексами различные значения из A. Так как всякое ко-

различны ввиду наличия аксиом ci cj . Следовательно, | B | .

3.10. Аксиоматизируемые классы моделей

Будем называть класс каких-либо моделей одной сигнатуры аксиоматизируемым, если он может быть задан совокупностью аксиом – предложений логики первого порядка. Класс моделей конечно аксиоматизируем, если он задаётся конечным числом аксиом. Очевидно, группы, кольца, поля, тела, частично упорядоченные множества – это конечно аксиоматизируемые классы.

В разделе 3.5 были даны аксиомы логики второго порядка, аксиоматизирующие множество действительных чисел в сигнатуре ; , ;0,1. Возникает естественный вопрос:

можно ли однозначно описать в какой-либо сигнатуре с помощью конечного или счётного числа аксиом в логике первого порядка? То есть будет ли аксиоматизируем класс, со-

стоящий из единственной модели ? Ответ отрицательный:

Теорема 9. Для любой теории T в логике первого порядка с конечным или счётным числом аксиом, если – модель T, то у T есть так же модели, неизоморфные .

Доказательство. По теореме Лёвенгейма – Скулема о понижении мощности у теории T существует счётная модель, очевидно неизоморфная .

Напомним, что абелевой группой называется коммутативная группа. Будем использовать для абелевых групп аддитивную запись, т.е. сигнатуру ; ;0. Тогда класс абелевых групп может быть задан аксиомами:

(1)a b c (a b) c a (b c),

(2)a a 0 a,

(3)a b a b 0,

(4)a b a b b a.

Следовательно, класс абелевых групп конечно аксиоматизируем.

Назовём абелеву группу A делимой, если для любого a A и любого натурального n уравнение nx a разрешимо в A. (Мы используем здесь сокращённые записи термов: 2x x x, 3x (x x) x и.д. В этой сигнатуре нет сорта натуральных чисел и поэтомуa: A n: x: A nx a не будет формулой данной сигнатуры. Однако для делимых групп можно записать бесконечный набор аксиом – предложений УИП:

(52 ) a x 2x a, (53 ) a x 3x a,

. . . . . . . . . . . . .

В силу теоремы компактности класс делимых абелевых групп не может быть задан конечным числом аксиом в логике первого порядка. Действительно, пусть { 1, , k } –

конечное множество предложений логики первого порядка, истинных во всех делимых абелевых группах. Положим 1 k . Для достижения поставленной цели доста-

точно доказать, что выполнено в какой-нибудь не делимой абелевой группе. Пусть T –

Сигнатура метатеории для T имеет единственный сорт – строки алфавита , состоящего из всех логических символов логики первого порядка, символов сигнатуры, а также "s"," ",".","Q" и "PT " (мы считаем, что всех этих символов в нет. Если они есть, то обозначим их по-другому).

В есть бинарная операция (конкатенация), одноместный предикат PT (доказуе-

мость), и константы для всех элементов * (то есть строк в алфавите ). .Переменными сорта строк будут s, s , s ,

Мы пытаемся описать в сигнатуре следующую теорию MT (метатеорию T ) : её

универсумом будет *. Операция приписывает одну строку к другой, добавляя скобки при необходимости: например, " "." s s s" " s s s","(s"."( )" "(s( )". Таким образом, существует алгоритм, строящий для любой формулы сигнатуры представляющий её замкнутый терм, а именно " ". Сигнатуры с таким свойством называются

самоописывающими. Каждой константе из * соответствует сама эта строка.

Предикат PT доказуем в MT для формул, доказуемых в T, и опровержим для фор-

мул, опровержимых в T. То есть для всякой замкнутой формулы сигнатуры должно иметь место T MT PT (" ") T (случай PT (s), когда s " ", нас не инте-

ресует).

Заметим, что предикат PT позволяет сформулировать некоторые свойства теории как формулы метатеории. Именно,

1)Теория T непротиворечива, если в ней нельзя одновременно доказать и опровергнуть никакую формулу . В метатеории: ConT s (Sent(s) PT (s." ".s)), где

Sent(s) "s представляет замкнутую формулу".

2)Теория T полна, если любую формулу можно либо доказать, либо опровергнуть. В

метатеории: ComplT s (Sent(s) PT (s) PT (" ".s)).

Вопрос. Очевидно, мы можем рассмотреть метаметатеорию MMT, в которой MT MMT PMT (" ") MT . Но в некоторых случаях мы можем обойтись теорией MT и рассмотреть в ней такой предикат PMT , чтобы для любой замкнутой фор-

мулы сигнатуры выполнялось MT MT PMT (" ") MT ? В этом случае мы говорим, что теория MT определяет собственный предикат доказуемости. Заметим, что в этом случае можно положить MMT MT. Очевидно, что только теория в самоописывающей сигнатуре может определять свой предикат доказуемости.

Предположим, что наша теория определяет свой предикат доказуемости и она полна.

речию!

Таким образом, любая полная теория, в которой определим предикат доказуемости, противоречива.

77

Теорема 10 (первая теорема Гёделя о неполноте). Никакая теория в самоописы-

вающей сигнатуре не может одновременно быть непротиворечивой, полной и допускать определение своего предиката доказуемости.

Теорема 11 (теорема Тарского). Пусть M – модель самоописывающей сигнатуры . Тогда в M не определим предикат истинности, то есть не существует формулы сигнатуры с одной свободной переменной True(x), для которой было бы верно

(M M True(" ")).

Доказательство. Предположим, что такая формула True(x) существует. Рассмотрим теорию Th(M). Очевидно, она непротиворечива и полна (поскольку любая замкнутая

В частности, сигнатура, состоящая из примитивно рекурсивных арифметических операций и отношений (см. следующую главу) – самоописывающая, а PA определяет свой предикат доказуемости (это здесь доказывать не будем).

Следствие (первая теорема Гёделя о неполноте для PA). PA неполна.

Следствие (теорема Тарского для арифметики). Какую бы вычислимую нумерацию замкнутых арифметических формул мы не использовали, не существует арифметической формулы от одного аргумента, истинной только на номерах истинных формул.

78