Методический пример

Пусть необходимо исследовать САУ с передаточной функцией разомкнутой системы:

.

1. Оценим устойчивость системы по критерию Ляпунова. Для этого найдем корни характеристического полинома с помощью моделирующей программы MatLAB.

2. Представим распределение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

3. Найдём степень устойчивости САР (η). Она равна минимальному значению модуля вещественной части всех корней.

Показатель колебательности САР (μ) можно определить как отношение модуля мнимой части корней, образующих максимальный угол между лучами, проведёнными через них из начала координат, к вещественной:

Теперь необходимо дать приближенные оценки качества процесса регулирования по корням характеристического уравнения САР:

Время регулирования определяется по формуле:

t_рег = 3/ η .

Перерегулирование находится по формуле:

4. Создадим ZPK-объект, найдем полюса и нули разомкнутой системы:

 

5. Запустим SISO-Design Tool, настроим параметры и импортируем ZPK-объект из рабочего пространства MatLab (рис.3). В окне Root Locus Editor интерфейса SISO-Design Tool построится корневой годограф (рис. 4).

 

 

Рис. 3. Диалог импортирования данных в SISO-Design Tool

 

 

Рис 4. SISO-Design Tool

 

6. Двигая красным курсором по корневому годографу до пересечения ветвей с мнимой осью, определить значение K^кр (рис. 5). В данном случае

K^кр = 3. Значение К ^кр соответствует мнимой координате пересечения КГ мнимой оси. Просмотреть это значение можно в нижней части интерфейса или выбрав меню "View/Closed-Loop Poles" (рис. 6).

 

Рис. 5. Корневой годограф с нанесенным значением K^кр

 

 

Рис.6. Closed-Loop Poles Viewer

 

7. Вычислить ω^кр можно, используя данные из таблицы Рауса. Таблицу Рауса нужно составить на основании коэффициентов характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы. Передаточную функция замкнутой системы получите, используя формулу (7).

8. Зададим значения 0.5K^кр и 0.25K^кр (рис. 7а , 7б) и определим значения полюсов (рис. 8а , 8б).

 

a. C= 0.5K^кр

 

 

б. C= 0.25K^кр

 

Рис.7. Корневой годограф САУ

 

 

a. C= 0.5K^кр

 

б. C= 0.25K^кр

Рис. 8. Closed-Loop Poles Viewer

Отчет по лабораторной работе

Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению лабораторных работ в вузе, и должен содержать:

1. Титульный лист

2. Наименование и цель работы.

3. Исходные данные варианта задания и структурная схема САУ.

4. Исследование системы по пунктам 1-4.

5. Чертежи комплексной плоскости и КГ. Нанести на все ветви значения K^кр, 0.5K^кр и 0.25K^кр.

6. Выражение для W_З(р) в виде произведения типовых звеньев с указанными значениями параметров типовых звеньев.

7. Анализ результатов построения КГ.

8. Выводы.

Замечание: Если САУ структурно-устойчива (при любом К >0), то ограничиться построением КГ, удаленного от начала координат на удвоенный модуль наиболее удалённого от начала координат полюса разомкнутой системы.