Поиск эффективных точек

Загляну-ка я под мини:

Интересно, что под ними?

Ведь на миди мы в обиде,

Ничего под ним не видя,

А заглядывать под макси

Удается только таксе.

Ю.И. Манин

Пусть U– компактное множество, аg¹,…,g^m– непрерывные функции,gⁱ:U.

Теорема (Гермейер).Пустьu₀– эффективная точка, причемgⁱ(u₀)>0 для всехi=1,…,m. Тогда существуют положительные числа₁,…_mтакие, чтоиx₀является точкой максимума функции.

Доказательство.ПоложимТогда

Пусть u– любая точка. Так как точкаu₀– эффективна, найдется номерi, для которого gⁱ(u)gⁱ(u₀), или, что то же самое,_igⁱ(u)1. Значит,а это означает, чтоu₀– одна из точек максимума функции.

Остается положить и заметить, что тогдаu₀– одна из точек максимума функцииF(u). Теорема доказана.

К сожалению, нельзя утверждать, что всякая точка максимума функции будет эффективной точкой многокритериальной задачи.

Пример. ПустьU={(u₁,u₂): 0u₁1, 0u₂1}, g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂. Приточки максимума функцииобразуют отрезок {(u₁,u₂):u₁=1, 0.5u₂1}, но только одна его точка (1,1) является эффективной.

Теорема. Пусть существуют такие положительные числа₁,…_m, чтоиx₀является точкой максимума функции. Тогда точкаx₀является слабо эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Тогда найдется такая точкаu₁, чтоgⁱ(u₁)>gⁱ(u₀) для всехi=1,…,m. Но тогдаF(u₁)>F(u₀), что противоречит условию.

Пусть теперь множество Uвыпукло, а функцииg¹,…,g^mвогнуты.

Теорема (Карлин). Пустьx₀– эффективная точка. Тогда существуют неотрицательные числаp₁,…,p _mтакие, чтоиx₀является точкой максимума функции.

Доказательство.Не ограничивая общности, можем считать, чтоgⁱ(u)>0 для всехi=1,…,m. В силу теоремы Гермейера существуют положительные числа₁,…_mдля которыхu₀реализует максимум функции.

Тогда (u₀,F(u₀)) является решением задачи математического программирования

,

uU, w.

В силу теоремы Куна–Такера найдутся такие неотрицательные числа _i,i=1,…,m, для которых (u₀,F(u₀)) будет точкой максимума функции

на множестве U. Но это возможно, только если

, (*)

а тогда u₀является точкой максимума функции.

Остается заметить, что в силу равенства (*), по крайней мере, одно _iне равно нулю. А тогда мы можем положить.

Теорема.Пусть существуют положительные числаp₁,…,p _mтакие, чтоиu₀является точкой максимума функции. Тогда точкаu₀является эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Тогда найдется такая точкаu₁, чтоgⁱ(u₁)gⁱ(u₀) для всехi=1,…,m, причем, по крайней мере, одно из этих неравенств не обращается в равенство. Умножая эти неравенства наp_iи суммируя, получим неравенство(u₁)>(u₀), что противоречит условию.

Нельзя утверждать, что всякая эффективная точка может быть найдена в результате максимизации функции с положительными коэффициентамиp₁,…,p _m.

Пример.Пусть,g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂.Максимум функциидостигается в точке. В то же время, точка (1,0) является эффективной.

С другой стороны, при неотрицательных коэффициентах p₁,…,p_m, точка максимума функцииможет быть неэффективной в многокритериальной задаче.

Пример.ПустьU={(u₁,u₂): 0u₁1, 0u₂1}, g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂. Точки максимума функции(u)=1g¹(u)+0g²(u) образуют отрезок {(u₁,u₂):u₁=1, 0u₂1}, а эффективной является только одна точка (1,1) этого отрезка.

Теорема.Пусть существуют неотрицательные числаp₁,…,p _mтакие, чтоиu₀является точкой максимума функции. Тогда точкаu₀является слабо эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Тогда найдется такая точкаu₁, чтоgⁱ(u₁)>gⁱ(u₀) для всехi=1,…,m. Умножая эти неравенства наp_iи суммируя, получим неравенство(u₁)>(u₀), что противоречит условию.

2. Другие варианты

• Двойственность

• Идеальная точка

• Парето и лексикография: задача 9.3 стр. 339 у толстого Мулена.