Примеры

Пример.Пусть каждый из критериевg¹,…,g^mпринимает лишь конечное число значений. Значения, которые может принимать критерийgⁱ, обозначим в порядке возрастания символами. Опишем, как с помощью элементарных операций получить свертку.

Очевидно, что результирующий критерий может принимать лишь конечное число значений вида . Обозначим их в порядке возрастания. Образуем вспомогательные критериииспользуя разбиение на удовлетворительные и неудовлетворительные. Тогда.

Пример.Пусть каждый из критериевg¹,…,g^mпринимает лишь конечное число значений. Значения, которые может принимать критерийgⁱ, обозначим в порядке возрастания символами. Опишем, как с помощью элементарных операций получить свертку.

Очевидно, что результирующий критерий может принимать лишь конечное число значений вида . Обозначим их в порядке возрастания. Образуем вспомогательные критериииспользуя разбиение на удовлетворительные и неудовлетворительные. Тогда..

Пример.Пусть каждый из критериевg¹,…,g^mпринимает лишь конечное число значений. Значения, которые может принимать критерийgⁱ, обозначим в порядке возрастания символами. Опишем, как с помощью элементарных операций получить свертку, описывающую нахождение лексикографического максимума.

Пусть и. Обозначими положим. Нужный нам критерий задается экономической сверткой.

Оптимальность по Парето

Вильфредо Парето (1848–1923) – итальянский экономист.

Определение.Будем говорить, что стратегияuUдоминирует (по Парето) стратегиюvU, а соответствующий вектор выигрышей (g¹(u),…,g^m(u)) доминирует вектор (g¹(v),…,g^m(v)), если для всехi=1,…,mвыполняются неравенстваgⁱ(u)gⁱ(v), а для некоторогоkвыполняется строгое неравенствоg^k(u)>g^k(v).

Определение.СтратегияuU, и соответствующий вектор выигрышей (g¹(u),…,g^m(u)) называются эффективными (оптимальными по Парето), если не существует стратегииvU, которая доминировала бы стратегиюu.

Полезно иметь в виду следующую геометрическую интерпретацию данного определения. Вектор выигрышей (g¹(v),…,g^m(v)) является эффективным, если пересечение множества всех возможных векторов выигрышейи конусасостоит из одной точки (g¹(v),…,g^m(v)).

Множество эффективных векторов выигрышей, вообще говоря, не выпукло.

Пример.Пусть, g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂.

Множество эффективных векторов в этой задаче представляет собой четверть окружности и, следовательно, не выпукло.

Множество эффективных векторов может быть и не замкнутым.

Пример.Пусть, g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂.

Эффективное множество в этой задаче состоит из двух дуг и одной точки . Это множество не замкнуто, поскольку точки (3,1/3) и (1/3,3) являются предельными для него, но не доминируются точкой (3,3).

Отсюда, следует, что не существует такой непрерывной функции , что множество точек максимума функциисовпадает с множеством эффективных точек в многокритериальной задаче. В частности, функция, что множество точек максимума функциисовпадает с множеством эффективных точек в многокритериальной задачене может быть задана как композиция элементарных способов свертки, рассмотренных выше.

Приведенные примеры показывают, что нетривиальной становится даже постановка задачи о поиске эффективных точек, коль скоро речь идет о задаче полного выбора, что часто бывает нужно на практике. В самом деле, в общем не ясно даже в каких терминах должен быть сформулирован ответ в этой задаче.

По этой и некоторым другим причинам технически удобнее бывает работать со слабо эффективными точками, хотя они менее интересны в прикладном плане.

Определение.СтратегияuU, и соответствующий вектор выигрышей (g¹(u),…,g^m(u)) называются слабо эффективными, если не существует стратегииvU, которая сильно доминировала бы стратегиюu.

Лемма.Пусть множествоUкомпактно, а функцииgⁱ:U непрерывны. Тогда множество слабо эффективных стратегий компактно.

Доказательство.Пусть точкаvне является слабо эффективной. Тогда найдется такая точкаu, что выполняются неравенстваgⁱ(v)<gⁱ(u),i=1,…,m. В силу непрерывности функцийgⁱнайдется настолько малая окрестностьOточкиv, что неравенстваgⁱ(w)<gⁱ(u),i=1,…,mбудут выполняться для любой точкиwизO, то есть множество точек, которые не являются слабо эффективными, является открытым.

Но это означает, что его дополнение, множество эффективных точек, является замкнутым. Замкнутое подмножество компактного множества компактно, поэтому компактно множество слабо эффективных стратегий. Образ компактного множества компактно, следовательно, компактно множество слабо эффективных векторов выигрышей.

Пусть множество Uкомпактно, а функцииgⁱ:U непрерывны. Определим по индукции множестваU₀,U₁,…,U_m. Положим

U₀=U,

.

Лемма.Всякая точка из множестваU_mявляется эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Пусть точкаvUдоминирует точкуu. Тогда найдется такой номерk, чтоgⁱ(u)gⁱ(v) дляi=1,…,k–1, иg^k(u)<g^k(v). Так как точкаuU₁, выполняется неравенствоg¹(u)g¹(v), то есть на самом делеg¹(u)=g¹(v) и, следовательно,vU₁. Но тогда в силу включенияuU₂, имеемg²(u)g²(v). Продолжая эти рассуждения, получимvU_k. Но тогда справедливо неравенствоg^k(u)g^k(v), которое противоречит условиюg^k(u)<g^k(v). Полученное противоречие доказывает лемму.

Следствие.Пусть множествоUкомпактно, а функцииgⁱ:U непрерывны. Тогда множество эффективных точек не пусто.

Доказательство.В силу теоремы Вейерштрасса, непрерывная функцияg¹достигает своего максимума на компактном множествеU₀, то есть множествоU₁не пусто. МножествоU₁замкнуто, так как является прообразом компактного множества (точки действительно прямой) при непрерывном отображенииg¹. Замкнутое множествоU₁является подмножеством компактного множестваU₀. ПоэтомуU₁компактно.

По аналогичным соображениям множество U₂­ не пусто и компактно. Продолжая те же рассуждения, приходим к выводу, что множествоU_mне пусто. Любая его точка эффективна, что и доказывает следствие.