ALL

КУБИЧЕСКИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ БИ-СПЛАЙНЫ

•Периодические сплайны особенно полезны при генерации определенных замкнутых кривых. Замкнутую кривую можно получить циклически задав 4 из 6 контрольных точек для каждого участка. Если координаты 3 последовательных контрольных точек равны, кривая проходит через эту точку.

•Для кубических би-сплайнов d = 4 и каждая стыковочная функция захватывает 4 подынтервала из общего диапазона u. Для подбора кубической кривой по 4 контрольным точкам, можно использовать целочисленный вектор узлов

•{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

•и рекуррентные соотношения, из которых находятся периодические стыковочные функции, как для квадратных периодических би-сплайнов. Чтобы вывести уравнение кривой

•Граничные условия на периодические кубические би-сплайны для 4 контрольных точек, обозначенных p0, p1, p2 и p3, имеют вид.

•P(0) = 1/6(p0 + 4p1 + p2),

•P(1) = 1/6(p1 + 4p2 + p3),

•P’(0) = 1/2(p2 – p0),

•P’(1) = 1/2(p3 – p1).

•граничные условия подобны условиям для фундаментальных сплайнов.

•Участки кривой определены 4 контрольными точками,

•Параметрические касательные в начале и конце каждого участка кривой параллельны хордам, соединяющим соседние контрольные точки.

•Участок би-сплайна начинается в точке возле p1 и заканчивается в точке вблизи p2.

КУБИЧЕСКИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ БИ-СПЛАЙНЫ

•Матричная формулировка кубического периодического би-сплайна с четырьмя контрольными точками

•где матрица би-сплайна для периодических кубических полиномов

•Матрицу можно получить, найдя коэффициенты в общем выражении для кубического полинома, используя четыре заданных граничных условия.

•уравнения би-сплайнов можно модифицировать так, чтобы они включали параметр натяжения t (как для фундаментальных сплайнов). Матрица с параметром натяжения t равна

•и она сводится к MB при t = 1.

•Стыковочные функции периодического кубического би-сплайна с параметром u, меняющимся в диапазоне 0-1, получаются расширением матричного представления в полиномиальную форму.

•Например, t = 1, получаем

•B1,3(u) = 1/6(3u3 – 6u2 + 4),

•B2,3(u) = 1/6(-3u

•3 + 3u2 + 3u + 1),

•B3,3(u) = 1/6(u3).

ОТКРЫТЫЕ РАВНОМЕРНЫЕ БИ-СПЛАЙНЫ

•Промежуточные между равномерными и неравномерными би-сплайнами. Для них расстояние между узлами равномерно, кроме концов, где значения узлов повторяются d раз.

•два примера открытых равномерных целочисленных вектора узлов с начальным значением 0.

•{0, 0, 1, 2, 3, 3} для d = 2 и n = 3; {0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2} для d = 4 и n = 4.

•Данные вектора можно нормировать в единичный интервал от 0 до 1.

•Для любых значений параметров d и n открытый равномерный вектор узлов

•для значений j из диапазона от 0 до n + d

•Первым d узлам присваивается значение 0, а последние d узлов имеют значение n – d + 2.

•При d = n+1 (степень полинома n) открытые би-сплайны сводятся к сплайнам Безье, все значения узлов равны 0 или 1. Например, при кубическом открытом би-сплайне (d = 4) и 4 контрольных точках вектор узлов равен. {0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1}.

•Полиномиальная кривая для открытого би-сплайна соединяет первую и последнюю точку.

•Параметрическая касательная кривой в 1 контрольной точке параллельна прямой, сформированной первыми двумя контрольными точками,

•параметрическая касательная в последней точке параллельна линии, определенной двумя последними контрольными точками. Т.е. геометрические условия как для кривых Безье.

•Несколько совпадающих контрольных точек притягивает би-сплайн к данной точке.

•Замкнутую кривую можно определить, задав первую и последнюю контрольную точку с одинаковыми координатами.

НЕРАВНОМЕРНЫЕ БИ-СПЛАЙНЫ

•Вектор узлов может принимать любые значения из любых интервалов. При неравномерных би-сплайнах можно выбирать несколько внутренних значений узлов и неравномерное

•Неравномерные би-сплайны предлагают повышенную гибкость в управлении формой кривой. Неравномерные интервалы в векторе позволяют получать различные формы стыковочных функций в различных интервалах, что может использоваться для определения особенностей сплайнов. Увеличивая кратность узлов, можно настраивать траекторию кривой и вводить разрывы. Кратные значения узлов уменьшают непрерывность на 1 при каждом повторе значения.

•Стыковочные функции неравномерного би-сплайна получаются аналогично как для равномерных и открытых би-сплайнов. Для набора n+1 контрольных точек задается степень полинома и выбираются значения узла. Затем, используя рекуррентные соотношения, можно либо получить набор стыковочных функций, либо вычислить непосредственно точки кривой. Интервалы между узлами часто ограничены значениями 0 или 1

•Далее можно записать набор характеристических матриц и использовать его для расчета значений на сплайновой кривой без вычислений рекуррентных соотношений для каждой изображаемой точки кривой.

БИ-СПЛАЙНОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

•Формулировка би-сплайновой поверхности подобна формулировке сплайнов Безье.

•Векторную точечную функцию на би-сплайновой поверхности можно получить, используя декартово произведение стыковочных би-сплайновых функций вида

•где векторные значения задают положения (nu + 1) на (nv + 1) контрольных точках.

•Би-сплайновые поверхности имеют те же свойства, что и составляющие их би-сплайны.

•Поверхность можно построить по выбранным значениями параметров степени du и dv, которые задают степени ортогональных полиномов поверхности равными du – 1 и dv – 1.

•Для каждого параметра поверхности u и v также выбираются значения векторов узлов, которые определяют диапазон параметров стыковочных функций.

БЕТА-СПЛАЙНЫ

•Бета-сплайны ( -сплайны) - обобщение би-сплайнов , наложение условия геометрической

непрерывности на первую и вторую производные по параметру. Параметры непрерывности бетасплайнов называются параметрами .

•УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ БЕТА-СПЛАЙНОВ

первые производные по параметру пропорциональны, и 1-ые касательные векторы непрерывны в узле. 1. Непрерывность 2-го порядка (непрерывность вектора кривизны) G2 при условии, что

•21P’’j-1(uj) + 2P’j-1(uj) = P’’j (uj),

•Где 2 любое действительное значение, а 1 >0. Вектор кривизны дает меру величины изгиба кривой в точке uj . Если 1 = 1 и 2 = 0, бета-сплайны сводятся к би-сплайнам.

•Параметр 1 - параметр смещения, управляет асимметрией кривой. 1 > 1 кривая придавлена справа в направлениях единичных касательных векторов, выходящих из узлов. 0 < 1 < 1 кривая сглажена слева. Влияние 1 - рис.

•Рис. Влияние параметра 1 на форму бетасплайна

•Рис. 2. Влияние параметра 2 на форму бетасплайна

•Параметр 2 - параметром натяжения, поскольку он контролирует, насколько плотно или разреженно сплайн аппроксимирует контрольный график. При увеличении 2 кривая приближается по форме к контрольному графику, как показано на рис. 2.

КУБИЧЕСКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕТА-СПЛАЙНОВ

•Налагая граничные условия бета-сплайна на кубический полином с равномерным вектором узлов, получим матричное представление периодического бета-сплайна.

•где

•Матрица би-сплайна MB получается при 1 = 1 и 2 = 0. Матрица натяжения би-сплайна MBt (уравнение) получается при 1 = 1, 2 = 12/t (1 – t).

•РАЦИОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ

•Рациональная функция представляет собой просто отношение двух полиномов. Следовательно, рациональный сплайн это отношение двух сплайновых функций. Например, рациональный бисплайн можно описать радиус-вектором

•где pk набор из n+1 положений контрольных точек. Параметры ωk весовые коэффициенты контрольных точек. Чем больше значение определенного ωk, тем ближе кривая притягивается к контрольной точке pk, взвешенной этим параметром. Когда всем весовым коэффициентам будут присвоены значения 1, получим стандартный би-сплайн, поскольку в таком случае знаменатель в уравнении это просто сумма стыковочных функций, которая равна 1.

КУБИЧЕСКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕТА-СПЛАЙНОВ

•Рациональные сплайны имеют два важных преимущества перед нерациональными.

1.Во-первых, они точно представляют кривые второго порядка (конические сечения), такие как окружности и эллипсы.

•Нерациональные сплайны (полиномы) могут только аппроксимировать конические сечения. Эта возможность позволяет графическим пакетам моделировать все формы кривых с помощью одного представления (рациональных сплайнов), не требуя для обработки различных форм большой библиотеки криволинейных функций.

2.Второе преимущество рациональных сплайнов заключается в том, что они инвариантны относительно перспективной проекции.

•Это означает, что перспективное преобразование можно применять к контрольным точкам рациональной кривой, и получится правильная проекция кривой. С другой стороны, нерациональные сплайны, не инвариантны относительно перспективной проекции.

•Поэтому обычно в проектах графической разработки для построения рациональных би-сплайнов используются неравномерные представления вектора узлов.

•Данные сплайны называются NURBS (Nonuniform Rational B-splines неравномерные рациональные би-сплайны).

•Рациональные сплайны представляются в однородных координатах, поскольку их знаменатель можно рассматривать как однородный коэффициент h в четырехмерном представлении контрольных точек.

•рациональный сплайн можно расценивать как проекцию четырехмерного нерационального сплайна в трехмерное пространство.