Добавил:

AiSora Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Компьютерная Графика

Файл:

ALL

.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

12.02.2018

Размер:

15.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 6014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Плоские геометрические проекции

•Для разработки различных проекций используют два разных подхода.

1.В первом предполагается, что центр проекции или точка зрения фиксирована, а плоскость проекции перпендикулярна каждому проектору, как это показано на рис. 2 а. Для получения результата манипулируют объектом.

2.Во втором подходе предполагается, что объект фиксирован, центр проекции может как угодно перемещаться в трехмерном пространстве, а плоскость проекции не обязательно перпендикулярна направлению взгляда. На рис. 2 b приведен пример этого.

•Оба подхода математически эквивалентны.

плоскость

проекции

центр

проек

ции

Рис. 2 Плоские проекции, (а) Фиксирован центр проекции; (b) фиксирован объект. центр проекции

Параллельные проекции. ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Самая простая из параллельных проекций - ортографическая проекция. В этом случае точно изображаются «истинные» размер и форма одной

плоской грани объекта. В О. проекции предметы
представляются такими, какими они	z
представлялись бы наблюдателю, смотрящему с	z

бесконечного расстояния. Например план есть О. y проекция местности на горизонтальную плоскость, проведенную через середину участка.

•Ортографические проекции — это проекции на одну из координатных плоскостей х = 0; у = 0 или z = 0. Матрица проекции на плоскости имеют вид


	1	0	0	0			0	0	0	0		1	0	0	0
P 0		0	0	0	P 0 1				0	0	P 0 1			0	0
y	0	0	1	0	x	0		0	1	0	z	0	0	0	0
	0	0	0	1		0 0			0	1		0 0		0	1

•Ортографические проекции объекта на рис. 3 а на плоскости х = 0, у = 0 и z = 0 из центров проекций, расположенных в бесконечности на +х-, +у- и + z- осях соответственно, изображены на рис. 3 b, с и d соответственно.

рис. 3

Для получения достаточной информации для визуального и практического воссоздания формы объекта необходимо

нескольких ортографических

проекций.

ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•	Многовидовые ортографические проекции
	организуются, как показано на рис. 4.
• Виды спереди, справа и сверху -
	проецирование на плоскости z = 0, z = 0 и y =
	0 из центров проекции в бесконечности на
	+z, +x и +у осях.
• Виды сзади, слева и снизу - проецирование
	на плоскости z = 0, х = 0, у = 0 из центров
	проекции в бесконечности на -z, -х и -у осях.
• Координатные оси не изображаются.
• Невидимые линии изображают пунктиром.
• Виды спереди и с боков называют главным
	и боковыми фасадами, вид сверху - планом.
• все шесть видов могут быть получены
	комбинациями отражения, вращения и
	переноса с последующим проецированием
	на плоскость z = 0 из центра проекции,
	расположенного в бесконечности на оси z.
•	Для объектов с гранями, не параллельными	рис. 4.
	одной из координатных плоскостей
	используются вспомогательные виды.

Для ортогональной проекции объемного тела на плоскости. Построение видов сверху, спереди, слева, сзади, снизу, справа.

•Ортогональная проекция - частный случай параллельной проекции, когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования.

•Отображение вокруг произвольной плоскости в пространстве

1.- определить угол наклона

2.- повернуть (что бы совпало с одной из линий)

3.- потом, еще раз поворачиваем, что бы совпало со всей плоскостью.

4.- отобразить

5.- отказаться от первых трех подготовительных операций.

• объект		1	0		0	0		cos		sin	0	0	1	0	0	0	cos		0	sin	0
		0	1		0	0	Tz	sin		cos	0	0	0	cos	sin	0		0	1	0	0
		* 0	0		0	0	Tz		0	0	1	0	Tx 0	sin	cos	0	Ty sin		0	cos	0
		0 0		0		1			0	0	0			0	0			0	0	0
									0	0	0	1	0	0	0	1		0	0	0	1
•	Проекция трехмерного								Поворот					Поворот					Поворот
объекта на плоскость XOY									Поворот					Поворот					Поворот
объекта на плоскость XOY									вокруг оси ‘z’				вокруг оси ‘х’					вокруг оси ‘y’
(т.е. все точки z=0)									вокруг оси ‘z’				вокруг оси ‘х’					вокруг оси ‘y’
(т.е. все точки z=0)

•Для проекции сверху.

объект		1	0	0	0		1	0	0	0	•Повернуть вокруг оси x
											на 90 градусов, верхняя
		0	0	1	0		0	1	0	0
	*					*					грань окажется спереди
		0	1	0	0		0 0		0	0	и применить матрицу
			0	0				0	0
		0			1		0			1	проецирования.

	Поворот на 90°	Матрица
		проецирования
	cos90°=0 sin90°=1

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Аксонометрическая проекция образуется манипулированием объекта с помощью поворотов и перемещений таким образом, что бы были видны по крайней мере три соседние грани.

•Результат затем проецируется с центром проекции, расположенным в бесконечности, на одну из координатных плоскостей, обычно на плоскость z = 0.

•Особенности

•Если грань не параллельна плоскости проекции, то аксонометрическая проекция не показывает истинную форму этой грани.

•Относительные длины параллельных в исходном пространстве линий остаются постоянными , т. е. параллельные линии искажаются одинаково.

	Коэффициентискажения	длина проекции отрезка
•		истинная длина отрезка

•Рассмотрим три аксонометрические проекции: триметрическая, диметрическая и изометрическая.

•В триметрической проекции меньше всего ограничений, а в изометрической — больше всего.

•Изометрическая проекция есть частный случай диметрической, а диметрическая

проекция есть частный случай триметрической.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Триметрическая проекция строится произвольными поворотами вокруг любых координатных осей, совершаемыми в произвольном порядке, с последующим проецированием на плоскость z = 0.

•В общем случае для триметрической проекции коэффициенты искажения по каждой из проецируемых главных осей (х, у и z) не равны друг другу.

•Коэффициенты искажения вычисляют с помощью применения общей матрицы преобразования к единичным векторам вдоль главных осей.

•

1	0	0
U T 0	1	0
0	0	1

		x	*
1		x	x
1			x

1 T x*y
1			*
			*
	xz

y*x y*y

y*z

		•где [U] есть матрица единичных

0	1	векторов вдоль
0	1	нетрансформированных осей х, у и z
1		соответственно, а [Т] — общая
1	1	соответственно, а [Т] — общая
		матрица триметрической проекции.
		матрица триметрической проекции.

•Тогда коэффициенты искажения вдоль спроецированных главных осей равны

f x

x*x2 y*x2

f y

x*y2 y*y 2

f z

x*z 2 y*z 2

•Наложение ограничений на коэффициенты уменьшает диапазон триметрических проекций.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Диметрическая проекция — это триметрическая проекция с двумя одинаковыми коэффициентами искажения, третий коэффициент может иметь любое значение.

•Диметрическая проекция строится с помощью

•поворота на угол ф вокруг оси у, затем поворота на угол θ вокруг оси х и проецирования на плоскость z = 0 с центром проекции, расположенным в бесконечности. Результирующее преобразование. (углы пока неизвестны)

cos		0	sin		0
								0		0	0		0	0	0
T Ry Rx Rz sin		0	cos			1		0		0	0	1	0	0	0
T Ry Rx Rz sin		0	cos		0 0		sin			cos	0 0		0	0	0
	0	1	0		0 0		cos			sin	0 0		1	0	0
	0	0	0					0		0				0
	0	0	0		1 0			0		0	1 0 0			0	1
				sin sin
• Объединение матриц		cos		sin sin				0	0
• Объединение матриц			0		cos			0	0
	T sin			cos sin				0	0
			0		0			0
			0		0			0	1

•Единичные векторы на главных осях х, у и z преобразуются в

	1	0	0	1	cos		sin sin	0	0	cos	sin sin	0	1
									0	U* U T 0	cos		1
	U * U T 0	1	0	1		0	cos	0	0	U* U T 0	cos	0	1
•	0	0	1	1	sin		cos sin	0	0	sin	cos sin	0	1
•						0	0	0
						0	0	0	1

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

• Квадрат длины преобразованного единичного вектора вдоль оси х, т. е. квадрат коэффициента искажения,

равен

cos

sin

* 2

• Вдоль Y и z

cos

f y

y y

cos

sin

yz sin

•

Выполнив ряд несложных

тригонометрических действий,

получим

arcsin fz

•

arcsin

2 fz

•

Диапазон коэффициентов

искажения равен 0 < f < 1.

Рис. 6 Диметрические проекции для разных значений коэффициента искажения - 0; 1/4; 3/8; 1/2; 5/8; ¾; 1 Для куба с отсеченным углом

•	Каждый коэффициент искажения fz
	порождает четыре возможных	Рис. 7 Четыре возможных диметрических проекции
	диметрических проекции.	Рис. 7 Четыре возможных диметрических проекции
	диметрических проекции.	для коэффициента искажения 5/8 и углов поворотов
	Отрицательные коэффициенты	для коэффициента искажения 5/8 и углов поворотов
•	Отрицательные коэффициенты	= ±29.52°, θ = ±26.23°.
	искажения не имеют смысла.	(а) = -29.52°, θ = +26.23°; (b) = -29.52°, θ = -26.23°;

(с) = +29.52°, θ = +26.23°; (d) = +29.52°, θ = -26.23°.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Диметрическая проекция позволяет проводить измерения с одинаковым масштабным множителем по двум преобразованным главным осям. Измерение вдоль третьей оси требует другого масштабного множителя. Это может привести к путанице и ошибкам, если требуется точное масштабирование размеров спроецированного объекта. Изометрическая проекция решает эту проблему

•В изометрической проекции все три коэффициента искажения равны.

sin2

1 2 sin2

sin2

1 sin2

1 3

Отсюда следует, что sin2 θ = 1/3 или и θ = ±35,26°. Тогда sin2

и = ±45°.

•

1 1 3

•

Существуют четыре возможных изометрических проекции (рис. 8). Коэффициент

искажения для изометрической проекции равен

f cos2 23 0.8165

•изометрическая проекция есть частный случай диметрической с fz = 0,8165

Рис. 8 Четыре возможных изометрических проекции с углами поворотов = ±45°, θ =

±35.26°.

•(а) ф = -45°, θ = +35.26°; (b) = -45°, θ = -35.26°; (с) = +45°, θ = +35.26°; (d) = +45°, θ= -35.26°.

Изометрические и диметрические проекции (кратко)

•	Изометрические и диметрические													y
																			1х*			1у*		2 *		1z*

	проекции на плоскости ХОУ формируют
	проекции на плоскости ХОУ формируют												1у*
	изображение объемных тел, вид которых										1350		1у*
	изображение объемных тел, вид которых
	создает иллюзию объемности.																1х*				х
	создает иллюзию объемности.									450							1х*
•	Последовательность : тело вначале									450
•	Последовательность : тело вначале
	поворачивают вокруг оси у на некоторый									1z*
	угол, затем поворачивают вокруг оси х на								zПоворот фигуры вокруг оси ‘z’, оси ‘х’
	некоторый угол и потом проецируют.									cos		sin				0		0			1		0		0		0
	некоторый угол и потом проецируют.									sin		cos				0		0			0		cos		sin		0
• Общий вид для изометрической и									T	sin		cos				0		0		T	0		cos		sin		0
• Общий вид для изометрической и									z		0			0		1		0		x	0		sin		cos		0
	диаметрической проекций										0			0		0							0		0
	диаметрической проекций							1 0 0 0			0			0		0		1			0		0		0		1
	1 0 0 1							1 0 0 0		Поворот фигуры вокруг оси ‘y’
1х	1 0 0 1									Поворот фигуры вокруг оси ‘y’
1х								0 1 0 0		cos				0		sin				0
1у				Т		Т		0 1 0 0		cos				0		sin				0
1у	0 1 0 1			Т		Т		0 0 0 0	Ty											0
1z								0 0 0 0	Ty		0			1			0			0
	0 0 11			поворот		поворот				sin				0		cos				0
				вокруг у		вокруг х		0 0 0 1			0			0			0
	объект										0			0			0			1
								проекция на	• Углы поворота вокруг осей:
	cos		sin sin		sin cos		0 ХОУ		• Углы поворота вокруг осей:
		0		cos		sin	0		• =20,705				0							0
Т Т sin sin cos					cos cos		0		• =20,705						=22,208
		0		0		0					0,925820						0,133631						- 0,353553 0
		0		0		0	1				0,925820						0,133631						- 0,353553 0
												0					0,935414						0,353553				0
• Если обнулить третий столбец, то получим									Т Т			0					0,935414						0,353553				0
	координаты точек спроецированные на
	координаты точек спроецированные на										0,377964						- 0,327329						0,866025				0
	осях х,у,z (т.е. на плоскости визуализации).											0								0					0		1
	осях х,у,z (т.е. на плоскости визуализации).

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 6014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Компьютерная Графика

#
12.02.201823.16 Mб881793_1318583371_5516.pdf
#
12.02.201815.74 Mб281ALL.pdf
#
12.02.2018736.4 Кб121fullKG.pdf