ALL
.pdf
ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРЯМОЙ
Последовательность действий:
1.перемещение линии и объекта, таким образом, чтобы линия прошла через начало координат;
2.поворот линии и объекта вокруг точки начала координат до совпадения с одной из координатных осей;
3.отражение относительно координатной оси;
4.обратный поворот вокруг начала координат;
5.перемещение в исходное положение.
В матричном виде
T T / R R/ R 1 T / 1
где Т' — матрица перемещения, R — матрица поворота вокруг начала координат, R' — матрица отражения.
Перемещения, повороты и отражения также применяются для преобразования произвольных фигур.
y |
p2 |
|
|
x |
|
|
y* |
|
y** |
x** |
|
α x* |
||
|
||
|
p1 |
1.перенести начало координат в точку р1
(x*,y*)
2.поворачиваем на угол α (x**,y**)
3.отображаем относительно оси х**
4.поворачиваем на угол - α
5.переносим обратно начало координат
• 1-2, 4-5 это подготовительные операции
• 3 - основная операция
ПРОЕЦИРОВАНИЕ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ
•Матрицу преобразования размером 3x3 для двумерных однородных координат
|
можно разбить на четыре части |
|||||
• |
a |
b |
|
p |
• Где a, b, с и d — коэффициенты |
|
|
d |
|
|
масштабирования, вращения, отражения и |
||
|
||||||
|
T c |
q |
||||
|
|
|
сдвига соответственно. Элементы m и n задают |
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
m |
s |
перемещение. |
|||
|
|
|
|
|
||
•Мы рассматривали коэффициенты p = q = 0, s = 1. При p = q = 0, s=1, h = 1 геометрически результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью h = 1. В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.
•Установим величины р и q не равными 0, рассмотрим следующее выражение:
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Y |
h hx hy |
h x |
1 |
0 |
p |
|
x |
y px qy 1 (3) |
|
• |
y 1 0 |
1 |
q |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
•Здесь X = hx, Y = hy и h = px + qy + 1. Преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит в трехмерном пространстве, определенном как h = рх + qy + 1. Это преобразование показано на рис. 14, где
отрезок АВ, принадлежащий физической плоскости h = 1, преобразуется в CD со значением h 1, т. е. рХ + qY — h + 1 = 0.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ
•Интерес представляют результаты, принадлежащие физической плоскости с h =
,
1, которые можно получить путем геометрического проецирования прямой CD с плоскости h 1 обратно на плоскость h = 1 с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат.
• |
x* |
|
X |
y* |
Y |
|
или в однородных координатах |
|
||||
|
|
h |
h |
|
||||||||
|
x* |
|
h |
|
|
|
|
|
||||
|
y* |
X Y |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
h=1 |
||||||
|
|
|
|
|
h h |
|
||||||
•нормализуя выражение (3) делением
однородных координат на величину h, |
|
A |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 1 |
C |
|
• x* |
y* h |
X |
|
Y |
1 |
|
|
x |
y |
1 |
C* |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
px qy 1 |
|
|||||
|
|
h |
|
h |
|
px qy 1 |
|
|
||||||
•или
• |
x* |
X |
|
x |
|
D |
|
||||||
• |
h |
px qy 1 |
|
|||
|
|
|
||||
* |
|
Y |
|
y |
|
Рис. 14 Преобразование из физической плоскости |
|
y |
h |
px qy 1 |
|||||
(h = 1) на плоскость h 1 и проецирование |
|||||||
|
|
|
|
|
|
обратно на физическую плоскость |
|
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ
Элемент s 3 х 3-матрицы преобразования соответствует пропорциональному масштабированию - все компоненты вектора изменяются пропорционально. Преобразование :
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
X Y |
h x |
1 |
0 |
0 |
|
x |
y s |
|
|
y 1 0 |
1 |
0 |
|||||
0
•где X = х, Y = у и h = s. После нормализации получим X* = x/s и Y* = y/s.
•Преобразование [х у 1] [T] = [x/s y/s 1] является равномерным масштабированием координатного h вектора. Если s < 1, то растяжение, а если s > 1 — сжатие.
•Это преобразование осуществляется также в
плоскости h = 1. Здесь h = s = const, и поэтому плоскость h 1 параллельна плоскости h = 1. •0 s
Геометрическая интерпретация на рис. 15. Если s < 1, то h = const задает плоскость, лежащую между плоскостями h = 1 и h = 0. т.е., когда прямая АВ проецируется обратно на плоскость h = 1, то А*В* увеличивается
y,y*
D |
B* |
D* B
C |
|
C* |
A* |
|
A |
x,x* |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис . 15 |
|
|
|
|
h=1/2 |
|
|
|
h=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h=2 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, если s > 1, то h = const определяет плоскость, расположенную за плоскостью h = 1 и проходящую вдоль оси h. В случае проецирования прямой CD на плоскость h = 1 происходит уменьшение прямой C*D*.
ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
•Однородные координаты предоставляют удобный и эффективный способ нанесения точек из одной системы координат в соответствующие точки альтернативной координатной системы. Бесконечная область в одной координатной системе часто преобразуется в конечную область в альтернативной системе. При некорректном выборе переноса параллельность прямых может не сохраняться. Однако точки пересечения после преобразования оказываются снова в точках пересечения. Данное свойство используется для определения однородных координат представления точек бесконечности.
•Рассмотрим пару пересекающихся прямых, заданных уравнениями
•х + у = 1
•2x - 3у = 0.
•Прямые пересекаются в точке с координатами х = 3/5, у = 2/5. Запишем уравнения в виде х + у - 1 = 0, 2х - 3у = 0 и представим их в матричной форме
|
x |
y 1 |
|
1 |
2 |
|
0 |
0 |
|
X M / R |
• |
|
1 |
3 |
или |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
•Если матрица [М/] квадратная, то пересечение может быть получено путем обращения матрицы. Изменим систему исходных уравнений следующим образом:
•х + у - 1 = 0,
•2х-3у = 0,
•1 = 1,
•или в матричной форме
•[Х][М] = [R],
• т.е. |
x |
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 1 |
|
y 1 |
1 |
3 |
0 |
|||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Квадратная матрица, обратная данной, имеет следующий вид:
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 3 |
2 |
0 |
||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
||||||||
M |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 0 |
|||
5 |
5 |
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
|||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
•Умножая обе части уравнения на [М]-1 и учитывая, что [М][М]-1 = [I] является
тождественной матрицей, получим
|
|
1 |
|
1 |
2 |
0 |
|
3 |
2 |
1 |
|||
x |
y 1 |
0 |
0 1 1 |
3 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
|
1 |
0 |
1 |
|
5 |
|
|||||
|
|
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Таким образом, точка пересечения опять имеет координаты х = 3/5, у = 2/5.
•Рассмотрим теперь две параллельные прямые, заданные следующим образом:
•х + у = 1, х + у = 0. По определению геометрии Евклида, точка пересечения двух параллельных прямых расположена в бесконечности. Продолжая предыдущие
рассуждения, вычислим точку пересечения этих прямых, заданных в матричной
форме, |
x |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 1 |
|
y 1 |
1 |
1 |
0 |
|||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Однако несмотря на то что матрица квадратная, она не имеет обратной, так как две ее строки тождественны. Такая матрица называется сингулярной. Возможна иная формулировка с обратимой матрицей. Получим ее, переписывая систему уравнений следующим образом:
• |
х + у - 1 = 0, х + у = 0, х = х, |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
или в матричной форме |
x |
y 1 |
1 |
0 0 |
x |
|||
1 |
1 |
0 |
|
||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
•Таблица 1 Однородные координаты для точки [4 3]
•В данном случае матрица не является сингулярной и существует обратная ей
|
1 |
|
|
|
|
|
M |
0 |
0 |
1 |
|
• |
0 |
1 |
1 |
||
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• Умножая обе части выражения на обратную матрицу, получаем
h |
x* |
у* |
X |
У |
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
1/2 |
8 |
6 |
4 |
3 |
1/3 |
12 |
9 |
4 |
3 |
… |
|
|
|
|
1/10 |
40 |
30 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
1/100 |
400 |
300 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y 1 0 0 |
0 |
0 |
1 |
x |
|
0 x 1 1 0 |
|
x 0 1 |
1 |
x |
|||||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результирующие однородные координаты [1 - 1 0] определяют точку пересечения двух параллельных прямых, т. е. точку бесконечности. В частности, они представляют данную точку в направлении [1 - 1] двумерного пространства. В общем виде двумерный координатный вектор [а b 0] представляет точку бесконечности на прямой ау - bх = 0.
ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
•Приведем несколько примеров:
•[1 0 0] - точка на положительной оси х,
•[-1 0 0] - точка на отрицательной оси х,
•[0 1 0] - точка на положительной оси у,
•[0 -1 0] - точка на отрицательной оси у,
•[1 1 0] - вдоль прямой у = х в направлении [1 1].
•Вектор с однородной компонентой h = 0 действительно представляет точку бесконечности и может быть также интерпретирован как движение к пределу (табл. 1).
ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
•Рассмотрим прямую у* = (3/4)x* и точку [X Y h] = [4 3 1]. Напомним, что в однородных координатах не существует единственного представления координатного вектора (табл. 2-1). Точка [4 3 1] представлена в
однородных координатах по всем направлениям. Заметим, что в этой таблице при h 0 отношение у* х* остается равным 3/4, как и требуется для сохранения уравнения. Кроме этого, обратим внимание на то, что следующая пара (х* у*), все точки которой располагаются на линии у* =
(3/4)x*, быстро приближается к бесконечности. Таким образом, предел при h 0 и есть точка бесконечности, заданная в однородных координатах как [X Y h] = [4 3 0].
•Обратившись снова к рис. 2-15, легко продемонстрировать геометрическую интерпретацию процесса движения к пределу при h 0.
Рассмотрим отрезок единичной длины, проходящий от точки начала координат в направлении [1 0] на плоскости h = s (s < 1). При s 0 проекция этой прямой обратно на физическую плоскость h = 1 в направлении лучей, проходящих через начало координат, становится бесконечной длины. Следовательно, конечная точка прямой должна представляться точкой бесконечности на оси X.