75 группа 2 вариант / Тепломассообмен / Курс лекций по ТМО
.pdfгде R |
1 |
ln |
d2 |
– линейное термическое сопротивление |
|
2 |
d1 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
теплопроводности цилиндрической стенки, (м·К)/Вт.
В общем случае для любого i – го слоя многослойной цилиндрической стенки можно записать формулу для расчета линейного термического сопротивления и линейной плотности теплового потока
R |
|
|
1 |
ln |
di 1 |
; |
(2.16) |
,i |
2 i |
|
|||||
|
|
|
di |
|
|||
|
|
|
|
|
q |
|
T1 |
T2 |
...... Tn , |
(2.17) |
|
R ,1 |
R ,2 |
R ,n |
|
|
|
|
|
откуда следует, что перепад температур на каждом слое многослойной цилиндрической стенки прямо пропорционален линейному термическому сопротивлению этого слоя
T1 : T2 : T3 : ... R ,1 : R ,2 : R ,3 : ... (2.18)
§ 2.3.3. Шаровая стенка (стенка сферической формы)
Температурное поле в шаровой стенке при постоянном коэффициенте теплопроводности подчиняется гиперболическому закону (рис. 2.3)
|
|
Tw1 |
Tw2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
T(r) Tw1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(2.19) |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r1 |
|
|
r |
|
|
||||||
|
|
|
r1 |
r2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Tw1 и Tw 2 – температуры на границах стенки, °С или К.
Тепловой поток, проходящий через стенку сферической формы, найдем по закону Фурье
41
Q |
dT |
4 r2 |
(Tw1 |
Tw2 ) 4 . |
|
|
(2.20) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя равенство d 2r , формулу (2.20) можно пе- |
||||||||||||||||||||||||||||
реписать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q |
(Tw1 Tw2 ) 2 |
|
|
|
(Tw1 Tw2 ) |
|
, |
(2.21) |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
d1 |
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
d |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где R ш |
|
|
1 |
|
|
|
термическое сопротивление теп- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
d1 |
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лопроводности шаровой стенки, К/Вт.
T |
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
r |
|
Q |
|
|
|
|
|
Q |
|
Tw1 |
|
Tw2 |
|
|
|
|
|
Tw1 |
|
Tw2 |
|
|
|
|
0 |
r1 |
r2 |
r |
Рис. 2.3. Стационарное температурное поле в шаровой стенке
42
В общем случае для любого i – го слоя многослойной шаровой стенки можно записать формулу для расчета термического сопротивления и теплового потока
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Rш,i |
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|||
2 |
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
di |
|
di 1 |
|
|
|
|||
Q |
T1 |
|
T2 |
.... |
Tn , |
(2.23) |
||||
|
Rш,1 |
|
Rш,2 |
|
|
Rш,n |
|
откуда следует, что перепад температур на каждом слое многослойной шаровой стенки прямо пропорционален термическому сопротивлению этого слоя
T1 : T2 : T3 : .... |
Rш,1 : Rш,2 : Rш,3 : ... |
(2.24) |
Термическое сопротивление n – слойной шаровой стенки равно сумме термических сопротивлений всех слоев
n |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
R ш |
|
|
|
(2.25) |
||||
|
|
|
||||||
2 i |
|
|
|
. |
||||
i 1 |
di |
|
di 1 |
|
§2.4. Расчет теплопередачи
§2.4.1. Теплопередача через плоскую стенку
Схема теплопередачи через плоскую стенку показана на рис. 2.4. Расчет плотности теплового потока через плоскую стенку выполняют по формулам
q |
|
Tf 1 |
Tf 2 |
|
|
k (T |
T |
) |
Tf 1 Tf 2 |
, |
2.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
f 1 |
f 2 |
|
R t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
43
где Tf 1 и Tf 2 |
– температуры горячего и холодного флюидов, |
|||||
оС (К); , |
|
– коэффициенты теплоотдачи от горячего |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
флюида к стенке и от стенки |
к холодному |
флюиду, |
||||
Вт/(м2·К); – толщина стенки, м; |
– коэффициент тепло- |
|||||
проводности стенки, Вт/(м·К); k – |
коэффициент теплопере- |
|||||
дачи через плоскую стенку, Вт/(м2·К); R t |
– термическое со- |
|||||
противление |
теплопередачи через |
плоскую |
стенку, |
|||
(м2·К)/Вт. |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T f 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T w1 |
|
|
|
|
|
|
|
T w2 |
|
|
|
|
|
|
|
T f 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
3 |
x |
|
|
|
||||
|
|
f 1 - w1 |
w1- w2 |
|
w2 - f 2 |
|
Рис. 2.4. Теплопередача через плоскую стенку
Из анализа формулы (2.26) следует, что коэффициент теплопередачи и термическое сопротивление рассчитывают по формулам
k |
1 |
|
1 |
|
; |
(2.27) |
||
R |
t |
1 1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
44
R |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
(2.28) |
t |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Термическое |
|
сопротивление |
теплопередачи через |
плоскую стенку равно сумме термического сопротивления
теплоотдачи |
от горячего флюида к стенке (Rt,1 1 1) , |
||
термического |
сопротивления |
теплопроводности плоской |
|
стенки |
(Rt,2 ) и термического сопротивления тепло- |
||
отдачи |
от |
стенки к |
холодному теплоносителю |
(Rt,3 1 2 ) .
Замечание. При решении задач по расчету теплопередачи через плоскую стенку термические сопротивления теплоотдачи первого и третьего участков теплообмена иногда обозначают как R t, 1 и R t, 2 соответственно, а терми-
ческое сопротивление теплопроводности – R t, .
Прежде чем перейти к определению температурного поля при теплопередаче через плоскую стенку, еще раз подчеркнем, что тепловой поток не изменяется в процессе теплопередачи. Поэтому
q |
T1 |
|
T2 |
|
T3 const , |
(2.29) |
|
Rt,1 |
|
Rt,2 |
|
Rt,3 |
|
где T1 Tf ,1 Tw,1 |
– перепад температур на первом участ- |
|||||
|
|
|
|
|
ке теплопередачи – на участке тепло- |
|
|
|
|
|
|
отдачи от горячего флюида к стенке; |
T2 Tw,1 Tw,2 – перепад температур на втором участ-
ке теплопередачи – на участке теплопроводности;
T3 Tw,2 Tf ,2 – перепад температур на третьем участке теплопередачи – на участке тепло-
45
отдачи от стенки к холодному флюиду.
Из уравнения (2.29) по свойству пропорции следует,
что
T1 : T2 : T3 Rt,1 : Rt,2 : Rt,3 , |
(2.30) |
т.е. перепад температур, на любом участке теплопередачи прямо пропорционален термическому сопротивлению данного участка.
Пусть по условию задачи известны температуры обоих флюидов, а определяемыми величинами являются температуры стенок Tw,1 и Tw,2 . Для расчета неизвестной темпе-
ратуры выберем участок теплообмена таким образом, чтобы на одной его границе была известная температура, а на другой – искомая. Например, температуру Tw1 можно
найти двумя способами, поскольку по условию задачи заданы две температуры:
а) на участке f1 w1
q |
Tf ,1 Tw,1 |
T |
T |
q R |
|
; |
|
|
|
(2.31) |
|||
|
|
t,1 |
|
|
|
||||||||
|
Rt,1 |
w,1 |
|
f ,1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) на участке w1 f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q |
Tw,1 Tf ,2 |
T |
|
T |
|
q (R |
|
R |
|
) . |
(2.32) |
||
|
|
|
|
t,2 |
t,3 |
||||||||
|
Rt,2 Rt,3 |
w,1 |
f ,2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественно, что результаты числового расчета температуры Tw,1 по обеим формулам совпадают.
Для расчета температуры Tw,2 можно воспользоваться
уже тремя вариантами формулы расчета теплопередачи, поскольку в данном случае мы знаем уже три температуры
46
Tf ,1, Tw,1 и Tf ,2 . Например, принимая в качестве известной температуры температуру горячего флюида Tf ,1 , получим
q |
Tf ,1 Tw,2 |
T |
T |
q (R |
|
R |
|
) . |
(2.33) |
|
t,1 |
t,2 |
|||||||
|
Rt,1 Rt,2 |
w,2 |
f ,1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для стенки, состоящей из n слоев, формула расчета теплопередачи через плоскую стенку имеет вид
q |
|
|
Tf ,1 Tf ,2 |
, |
(2.34) |
||
|
|
i |
1 2 |
||||
1 1 |
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 i |
|
|
|
|
где i и i |
– толщина и коэффициент теплопроводности |
||||||
i – го слоя стенки. |
|
|
|
§2.4.2. Теплопередача через цилиндрическую стенку
Врасчетах теплопередачи через стенку цилиндрической формы удобно использовать тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки – линейную плотность теплового потока
q Q / , |
(2.35) |
где Q – тепловой поток, Вт; – длина цилиндрической стенки, м.
Схема теплопередачи через цилиндрическую стенку приведена на рис.2.5.
Расчет линейной плотности теплового потока через цилиндрическую стенку выполняют по формуле
47
q |
|
|
|
|
|
|
|
(Tf ,1 Tf ,2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ln |
d2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
d2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 d1 |
|
2 |
|
|
d1 |
|
|
|
|
|
|
(2.36) |
|||||||||||||
|
k |
|
(T |
T |
|
) |
(Tf ,1 Tf ,2 ) |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ,1 |
|
f ,2 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Tf ,1 |
и Tf ,2 |
– температура горячего и холодного флюидов, |
|||||||||||||||||||||||||||
оС (К); , |
2 |
– |
коэффициенты теплоотдачи от горячего |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
флюида |
к |
|
стенке |
и |
от |
стенки |
|
к холодному |
флюиду, |
||||||||||||||||||||
Вт/(м2·К); |
d1 и d2 |
– внутренний и наружный диаметры |
|||||||||||||||||||||||||||
цилиндрической |
|
|
стенки, м; |
– |
коэффициент |
||||||||||||||||||||||||
теплопроводности стенки, Вт/(м·К); k |
– |
линейный |
|||||||||||||||||||||||||||
коэффициент |
|
теплопередачи |
через |
цилиндрическую |
|||||||||||||||||||||||||
стенку, Вт/(м·К); |
|
|
|
R |
|
|
– |
|
линейное |
термическое |
|||||||||||||||||||
сопротивление |
|
|
|
теплопередачи |
через |
стенку |
|||||||||||||||||||||||
цилиндрической формы, (м·К)/Вт. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Tf 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T w1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T w2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tf 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.5. Теплопередача через цилиндрическую стенку
48
Из анализа формулы (2.36) следует, что k и R рассчитывают по формулам
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
(2.37) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
ln |
d2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
d |
2 |
d |
|
2 |
d |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ln |
d2 |
|
|
|
1 |
. |
(2.38) |
||||||||
|
1 d1 |
|
2 |
d1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейное термическое сопротивление теплопередачи равно сумме линейного термического сопротивления теплоотдачи от горячего флюида к стенке
(R ,1 |
1 ( 1 d1) ), линейного термического сопротивления |
||
теплопроводности |
цилиндрической |
стенки |
|
(R ,2 |
1 (2 ) ln(d2 / d1)) |
и линейного |
термического |
сопротивления теплоотдачи от стенки к холодному теплоносителю (R ,3 1( 2 d2 ) ).
Замечание. При решении задач по расчету теплопередачи через цилиндрическую стенку термические сопротивления теплоотдачи первого и третьего участков теплообмена иногда обозначают как R , 1 и R , 2 соответственно,
а термическое сопротивление теплопроводности – R , .
Линейное термическое сопротивление для цилиндрической стенки, состоящей из n слоев разной толщины и с разными физическими свойствами, рассчитывают по формуле
|
1 |
|
n |
1 |
|
|
di 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
, |
(2.39) |
|||||
d |
2 |
|
|
|
|
d |
|
||||||||
|
i 1 |
i |
|
d |
i |
|
2 |
n 1 |
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
49
где i – коэффициент теплопроводности i-го слоя, Вт/(м·К); di и di 1 – внутренний и наружный диаметры
i–го слоя цилиндрической стенки, м.
При теплопередаче через цилиндрическую стенку перепады температур на участках теплообмена прямо пропорциональны линейным термическим сопротивлениям этих участков
T1 : T2 : T3 R ,1 : R ,2 : R ,3 . |
(2.40) |
Пусть по условию задачи известны температуры обоих флюидов, а определяемыми величинами являются температуры стенок Tw,1 и Tw,2 . Для расчета неизвестной тем-
пературы выберем участок теплообмена таким образом, чтобы на одной его границе была известная температура, а на другой – искомая. Например, если для расчета температуры Tw,1 использовать температуру горячего флюида Tf ,1 ,
а для расчета температуры |
Tw,2 – температуру холодного |
||||||||||||||||
флюида Tf ,2 , то получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
q |
|
|
(Tf ,1 Tw,1) |
|
|
|
T |
T |
q |
|
|
|
|
R ,1 |
; |
(2.41) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
R ,1 |
|
w,1 |
f ,1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q |
|
|
(Tw,2 Tf ,2 ) |
|
|
T |
T |
q |
|
|
R ,3 |
. |
(2.42) |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R ,3 |
|
w,2 |
f ,2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2.4.3. Теплопередача через шаровую стенку
Схема теплопередачи через шаровую стенку приведена на рис. 2.6. Расчет теплового потока через шаровую стенку выполняют по формуле
50