Добавил:

AJIEIIIKA ajieiiika26@gmail.com Делаю контрольные работы, курсовые, дипломные работы. Писать на e-mail. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

Тепловые и атомные электростанции

Файл:

Задачи по теории вероятности и математической статистике

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

18.01.2018

Размер:

485.31 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

ti	ni	ti	ni

0	6	1	1
-4	7	6-20	1

4	4	2	7
-8	3	0-24	7
-8	3	0-24

8	3	2	5
-12	0	4-28	5
-12	0	4-28

1	1	2	4
2-16	8	8-32	4
2-16	8	8-32

Построить гистограмму и сравнить ее с графиком функции y(x) = c exp(−x / b), x > 0 .

258.Двадцать работников одной компании проходили тест, оценивающий уровень тревожности. Были получены следующие результаты в условных баллах (вариационный ряд): 51, 52, 52, 53, 54, 54, 55, 57, 60, 60, 61, 62, 62, 63, 65, 66, 69, 70, 72, 74. Найти выборочное среднее и выбо-

рочную дисперсию.

259.Эксперимент, определяющий скорость (в ед./сек.) написания арабских цифр дал следующие результаты:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0

5.9	3.1	3.6	3.4	2.1	4.5	2.8	2.8	2.9	5.0

Найти выборочное среднее, выборочную и исправленную дисперсии, выборочную моду и медиану.

260. Проверить несмещенность и состоятельность оценки математи-

ческого ожидания, в качестве которой взято x =	1	n
		∑xi по выборке
	n i=1

x1, x2 ,K, xn из генеральной совокупности с конечными математическим ожиданием и дисперсией.

261.	Пусть x1, x2 ,K, xn выборка из распределения с известным мате-
матическим ожиданием m и неизвестной дисперсией D .		Показать, что
несмещенной оценкой дисперсии D будет статистика S02 =		n
		1 ∑(xi − m)2 .
		n i=1
262.	Показать, что выборочное среднее, вычисленное по выборке из

генеральной совокупности, имеющей распределение Пуассона с параметром λ , будет несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой этого параметра λ .

263.	Пусть fξ (x,θ) = θ x θ +1, 0 ≤ x ≤1,θ > 0 . Найти какую–нибудь
состоятельную оценку для θ по выборке x1, x2 ,K, xn .
264.	Пусть k - число «успехов» в одной серии из m независимых ис-

пытаний с вероятностью «успеха» p . Найти ОМП (оценку максимально-

го правдоподобия) для p . Показать, что она является несмещенной, со-

стоятельной, эффективной оценкой.

265. Показать, что относительная частота появления события A в n независимых испытаниях является эффективной оценкой вероятности p

появления события в одном испытании.

266. Отказ прибора произошел при k -ом ( k =1, 2,K ) испытании.

Найти ОМП вероятности отказа p при одном испытании и выяснить ее несмещенность.

267.	Показать, что	ˆ		1	n			2		является смещенной оценкой
		ˆ		1	n			2
		D =		∑(xi − x)
				n i=1
дисперсии σ 2 , где x , x ,K, x - повторная выборка. Найти смещение.
	1 2		n
				1		n
268.	Показать, что S 2 =					∑(xi	−			)2 является несмещенной оцен-
									x
									x
			n −1 i=1
кой генеральной дисперсии σ 2 , где x , x ,K, x - повторная выборка.
					1		2			n
269.	По выборке x1,..., xn			найти методом моментов оценку параметра

a равномерного на интервале (−a,a) распределения.

270. Результаты ошибок измерения дальности радиодальномером имеют равномерное на (a,b) распределение и представлены в таблице

( ni - число наблюдений):

xi	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21

ni	21	16	15	26	22	14	21	22	18	25

Найти по методу моментов оценки параметров a и b .

271. Число столкновений с молекулами газа в камере Вильсона частиц, получающихся при распаде ядра урана в результате бомбардировки его нейтронами, имеет «двойное» распределение Пуассона

P(ξ = k) = 1

θ1k e−θ1

+θ2k e−θ2

, k = 0,1,...,0 <

<θ

. Найти методом момен-

тов оценки параметров θ1,θ2

по выборке x1, x2 ,K, xn .

272. Дана

выборка

x1, x2 ,K, xn из

нормального

распределения

N (θ, 2θ ) . Найти оценку МП параметра θ .

273. Пусть x1, x2 ,K, xn - результаты n независимых наблюдений над

случайной величиной ξ , ряд распределения которой имеет вид:

α1−θ1

−α

1 −θ1

1 −α

1−θ1

θθ

θ (1−θ

)

1−α

1−

где α (0,0.5) -

известно, θi (0,1), i =1,2 ,

nj - число элементов выборки,

равных k j , j =1,5 . Найти ОМП θi , i =1,2 .

274. Пусть x1, x2 ,K, xn - результаты n = 25 повторных независимых наблюдений над случайной величиной ξ , имеющей нормальное распре-

деление с неизвестным параметром a и известным параметром σ =5 .

Указать интервал, который с вероятностью 0.95 накрывает истинное зна-

чение неизвестного параметра, если x = 1 ∑n xi =14 . n i=1

275.При определении угла используют среднее арифметическое нескольких замеров, причем среднеквадратическое отклонение каждого замера равно 1.5 минуты. Найти минимальное количество замеров, которое необходимо произвести, чтобы погрешность результата с вероятностью

0.99не превосходила 1 минуты. Предполагается, что измерения имеют нормальное распределение.

276.Построить 95%-ый доверительный интервал для вероятности попадания в цель, если в результате 300 независимых выстрелов в цель попало 85 снарядов.

277.Содержание углевода в единице продукта подчиняется нормальному распределению с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией. По результатам 25 независимых наблюдений

x1, x2 ,K, x25			были	получены оценки		математического				ожидания
	1	25		ˆ	1	25	2		2
x =		∑xi	=18 (г.)	и дисперсии D =		∑(xi − x)		=15.36 ( г		). Постро-
x =		∑xi	=18 (г.)	и дисперсии D =		∑(xi − x)		=15.36 ( г		). Постро-
	25 i=1				25 i=1

ить доверительный интервал надежности 0.99 для математического ожидания.

278. Пусть x1, x2 ,K, xn - выборка из нормального распределения ге-

неральной совокупности с известным математическим ожиданием a и

неизвестной дисперсией σ 2 . Найти доверительный интервал заданной надежности α для неизвестной дисперсии.


279.		Пусть 3.23;			1.10; 0.06; 3.17; 2.22; 2.94; 4.15; 1.08; 4.25;
2.79;	1.04;		2.36;	0.11;		3.32 – выборка из нормального распределения.
Построить доверительные интервалы надежности 0.95 для a и σ 2 .
280.		Пусть 9.1;			9.2;	9.55; 9.6; 9.7; 9.95; 10; 10.1; 10.3; 10.55;
10.7;	10.8;		11;	11.1;		11.45; 11.65 – выборка из нормального распре-

деления с a =10.1. Найти с надежностью 0.99 доверительный интервал для σ 2 .

ОТВЕТЫ

P( A) =1 6

;

P(B) =5 9

; P(C) =13 18

2. P( A) =1 125 ; P(B) =1 25

;

P(C) =12 125 ; P(D) =36 125 . 3. P( A) = 0.504 ; P(B) = 0.432 ; P(C) = 0.036 ;

P(D) = 0.027 ;

P(E) = 0.001; P(F) = 0.0001. 4. а) 0.1; б) 0.18. 6. 10 .

7. P( A) = 0.5 ; P(C) = 0.7 ; P(B) = 0.3 .

8. а) 2 165; б) 2 165; в) 2 231;

г) 1 231. 9. 7 15; 17 24 . 10. а)1 58905 ; б) 992 19635 ; в) 56 6545;

г) 729 6545. 11.

12. P( A) =1 60 ; P(B) = 2 5 ; P(C) =3 5 ; P(D) = 2 5 .

1001

14. а) 5 9 ; б) 5 72; в) 91 216 ; г) 1 6; д) 1 36 ; е) 1 36 . 15. ≈0.00005372.

16. 1 2. 17. 4 9 .

18. 3. 19.

6(n −3) +(n − 2)(n −3)(n − 4) . 20. 2(k −1)(n − k) .

n(n −1)(n − 2)

n(n −1)

21. a) 0.5; b)

n −1

. 23. a) 2 ; b)

. 24. a) 0.2; б) 0.4; в) 0.04. 25. 1 k .

−1

26. P( A) =

; P(B) =

28. 1 3 . 29. P > P .

30. 1 4. 31. 6 19 .

(2n −1)!!

32. 1 −

. 33. a) 1; б) 0; в) 0. 34. 0.25. 35. a)

; b)

111 .

36. a) 0.5; b) 0.75.

400

37.

5 +

10 d .

38. tg π

. 40.1 6; 0; 5

6 . 41.

. 42. ≈ 0.03.

aπ

44.

P( A) =11 125 ;

P(B) =13 25

; P(C) =12 25 ;

P(D) = 42 125

;

P(E) = 21333125 ; P(F) =192625 . 45. 13 . 50. 6/7. 51. а) 321 ; б) 161 ; в) 3231 .

52. 0.72775. 53. a) 0.672; b) 0.988; c) 0.8736; d) 0.6408. 54. 0.1.

55.a) 5355 ; b) 2916 . 56. 0.166. 58. 0.5 59. 0.507. 60. 19 28. 61. 13 41.

62. 15 23 . 63. lim p		=1−e−1 ≈ 0.6321. 64. n ≥ 25 . 65.								p . 66. p . 67.
	n→∞ n
68.	5 8 . 69. 0.05; 0.25. 70.		m	.	71.	528	≈ 0.089 . 73. 0.75.
68.	5 8 . 69. 0.05; 0.25. 70.		m + k	.	71.		≈ 0.089 . 73. 0.75.
			m + k		5915
75.	p (1− p)n + (1− p )np(1− p)n−1				. 76. k(k −1)(3n −2k − 2) .
	0	0				n(n −1)(n − 2)
						n(n −1)(n − 2)
77.	(n − m +1)(n − m)	. 78. 2 3. 79. 3 19 . 80.							2a	. 81. к первой.
77.	2n(n −1)	. 78. 2 3. 79. 3 19 . 80.						1+ a −b		. 81. к первой.
	2n(n −1)							1+ a −b
83.	4 11. 84. 0,857.	85. 2 11. 86. 5 11. 87.								nk
											.
									Cn1 + 2k Cn2 +K+ nkCnn		.

228253 ≈ 0.9.

82.811.

88.1 бе-

лый; 3 черных и 2 белых. 89. 0.57; 0.78. 95. 1142 . 96. 13. 98. 316 . 99. λ ≥5 .

100. 0.6651; 0.6187; 0.5973.

101.

		ξ		0		1			2		3

		p		14 63		32 63			15 63		2 63

102.	e−λp (λp)s		.
102.		s!	.
		s!
104.

		ξ		2	3			4

		p		0.36	0.288			0.352
105.
105.

		ξ		0			1			2

		p		25 72			34 72			13 72
106.
106.

ξ	2		3		4		5

p		1		5		5	25
p	36		216		216		27
	36		216		216		27

107.

ξ	0		1		2	3

p		1		3	1	1
p	30		10		2	6
	30		10		2	6

110.2. 111. a = π1 ; Fξ (x) = 12 + π1 arctg x ; 12 . 113. c = πa . 112. 17/20 114. 0.6.

115.99.95%. 116. α (0;0.214). 117. 0.1573; 0.0228. 118. ≈ 0.01. 119. 0.11.

121. P( A) ≈ 0.0725 ; P(B) ≈ 0.0909 . 122. 0.6212. 123. а) ≈ 0.05; б) ≈ 0.22;

в) ≈0.58 124. а) ≈0.0038; б) ≈0.9382. 125. P( A) ≈ 0.020091; P(B) ≈ 0.95738 .

126.t = 73. 127. 4 ≤ μ ≤ 23 . 128. 1−exp −nV0 . 129. 625. 130. 547.

131. a) 537; b) 552. 132. 0.00468. 133. 753. 139.

;

m −1 ;

2(m − k)

. 140. за-

m(m −1)

висимы;

2 2 .

141.

a =

; b)

независимы;

fξ (x) =

π 2

π(1+ x2 )

fη ( y) =

;

1 .

142.

f (x, y) =

e−x2

, x R, y (0,1)

;

π(1

+ y2 )

y ≤ 0

]

2x) + 0,5), y

(

F (x, y) = y(Φ(

0,1 , x R . 145. c > 0, a > 0 ; независимы, ес-

y >1

Φ( 2x) + 0,5,

ли A =	ac	e−b2 a . 149. a)				c =	3	; b) зависимы; c) первая вероятность больше.
							8
	π
150. a)	Fη ( y) =		ln y		,	y > 0 ; b) Fη ( y) =1− Fξ (e			−y	);
			Fξ
				2

c) Fη ( y) = Fξ (y +1)− Fξ (1 − y), y > 0 ; d) Fη ( y) =1 − Fξ ( −y )+ Fξ (− −y ), y < 0 ;

1, y ≥ 0 . 151. P(η = −1) = Fξ (0) , P(η =1) =1− Fξ (0) .

( y),

(

]

0,1 ;

153.

P(η = k) = pqk , q =1− p, k = 0,1,2,... 154. fη ( y) =

fξ ( y)

0,1 .

(

]

156.

f ( y) =1, 0 < y <1. 157. η = −

ln(1−ξ) . 158. η = ctg(πe−λξ ) .

159.

P(η = 0) =

; P(η = 2k −1) = pq2k −2 , k =1,2,K.

+ q

[ ]

;

160.

2 y, y 1,2

; P( A) = 0,24615 .

fη ( y) = 3

y [1,2],

161. f ( y) =	4	.164. a) f	γ	(z) = λ2 ze−λ z , z > 0 ; b)	f	ζ	(z) = λ e−λ	z	.


η	π(16 + y2 )						2

166. fζ

168. fζ

(z)

−2ln

≤ 0,25, z ≠ 0;

> 0,25.

, 0 < z ≤ 0.5;

2(1

− z)2

0.5 < z ≤1; .

2z2

z (0,1].

169.

fζ

(z) = 2(1 − z),

z (0,1) ; fζ

(z) =

−1,

z (0,1)

9 (1

+ 2

− z2 ) z −

≤1;

170.

f (z) =

171. f (z) = (λ1 +λ2 )e−(λ1 +λ2 ) z , z > 0 .

>1.

∞

173. fζ (z) = − ∫ x f (x, zx)dx + ∫x f (x, zx)dx .174. fζ (z) =

π(z

+1)

−∞

175.

f (x) =

, x > 0 176. геометрическое с параметром (1− q q ) .

(x +1)2

(λt)

n−1

180.

Fη (z) =∏Fξi

(z) ;

Fζ (z) =1 −∏(1− Fξi

(z)) .

181. fη (t) = λe−λt

(n −

1)!

i=1

t > 0 ., Eη =

, Dη =

182. ≈0.1635.

183. 0,438.

185. Eξ = 3 , Dξ =

28 .

λ2

186.

3.5n

187.

Eξ =

5 , Dξ =

188.

Eη =

(a2

+ ab +b2 )

Dη =

π 2

(a2

+ ab +b2 )2 .

189. в 1.2 раза.

192. Eξ = λ, Dξ = λ.

144

1−2p . 194. X =

b + na .

193. Eξ =

Dξ =

∑kimi

. 195. 2 рубля. 196.

i=1

n +1

199.

201. E =

, D =

520

. 202. Eξ =

n +1

, Dξ =

−1

203. моментов не

147

существует; 0; x0.5

= 0 . 204. a = 0.5 ,

Eξ = 0 ,

Dξ = 2 , As = 0, Ek =3 . 205.

а) 25;

б)25,

26.

206.

207.

λ −1 ≤ k ≤ λ . 208.

=(−β ln(1− p))1 α

;

α −1

1 α

. 209. не существует;

x0.5

. 210. не существует;

x0.5

= 0 .

211. 3;

= −ln(0.75) ;

= −ln(0.25)

. 212. -1.2. 213. -0.675.

0.25

0.75

214. a) (Eξ, Eη) = (1.8; 0.2) ; b) (Dξ, Dη) = (0.56; 0.96) ; c)

ρ(ξ,η) = −0.22 ;

d) D(ξ +η) =1.2 . 215. а) 1; б)

; в) -1; г)

10 − 2λ

5(λ2 −8λ + 20)

216.	D(ξ +η) = 7 + 2 3 .	1	,	2		218.	K =		0.36	−0.24
216.	D(ξ +η) = 7 + 2 3 .	217. (Eξ, Eη) =	,	3	.	218.	K =		−0.24	0.6	.
		3		3					−0.24	0.6
219.	зависимы, некоррелированны. 220.			K =		0.5	0	.	221.	Eη =5 ,
219.	зависимы, некоррелированны. 220.			K =		0	0.5	.	221.	Eη =5 ,
						0	0.5

Dη =36 , COV (ξ,η) = −12 , ρ(ξ,η) = −1. 223. −																	1	.	224. −		1 .
Dη =36 , COV (ξ,η) = −12 , ρ(ξ,η) = −1. 223. −																		.	224. −		1 .
																11					5
227. P(ξ = k /ξ =η) = p(1+ q)q2k −2 ,													P(ξ = k /ξ >η) = p(1 + q)qk −2 (1− qk −1) .
228.						k =		3 3			,		f (x / y) =			2			exp(−(2x +1.5y)2 )					,
228.						k =			π		,		f (x / y) =				π		exp(−(2x +1.5y)2 )					,
									π								π
			3																		η
f ( y / x)		=	3				exp(−(x +3y)2 ) . 233.							12.25.					234.		E(∑ξi ) = a Eη			,
f ( y / x)		=					exp(−(x +3y)2 ) . 233.							12.25.					234.		E(∑ξi ) = a Eη			,
				π																	i=1
η														1							1
D(∑ξi ) =b Eη + a2 Dη.											235. Eξn		=1−	1	. 236. ϕ(z) =						1		, Eξ = a ,
D(∑ξi ) =b Eη + a2 Dη.											235. Eξn		=1−	n	. 236. ϕ(z) =					a +1− ae		i z	, Eξ = a ,
i=1														2						a +1− ae
Dξ = a	2	+ a . 238. ϕ(z) =									pl	.
Dξ = a		+ a . 238. ϕ(z) =								(1	− qei z )l	.
										(1	− qei z )l
239. ϕ(z) =						1			.
239. ϕ(z) =					z2 +1				.
					z2 +1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
18.01.2018485.31 Кб113Задачи по теории вероятности и математической статистике.pdf
#
18.01.20183.88 Mб43МУ по математике.doc