![](/user_photo/_userpic.png)
Методичка теория вероятности с типовыми заданиями (Силкин)
.pdf883
ЛЕКЦИЯ 8.3. КЛАССИЧЕСКАЯ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
8.3.1. Вероятность события
Вероятность события – это число, имеющее ту же природу, что и расстояние в геометрии или масса в теоретической механики и всегда связанное с каким либо пространством элементарных событий.
Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.
Существует несколько подходов к определению вероятности события. Рассмотрим основные из них.
8.3.1.1. Аксиоматическое определение вероятности
В аксиоматическом подходе вероятность определяется как величина, удовлетворяющая следующим аксиомам:
1. Каждому событию A ставится в соответствие неотрицательное число p, которое называется вероятностью события A:
P(A) = p>0, где A S, S .
2.Если события A1, A2,..., An несовместны, то верно равенство:
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An), где Ai S (i=1,2,...,n), S .
3.P( )=1, где – истинное (достоверное) событие.
Пространство элементарных событий , с заданной в нем алгеброй S (или -алгеброй) и определенной на S вероятностью – неотрицательной мерой P(A), A S называется вероятностным пространством и обозначается ( , S, P). Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей.
Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность, поэтому для решения задач целесообразно использовать подходы к определению вероятности, которые перечислены ниже.
8.3.1.2. Классическое определение вероятности |
|
Пусть события |
|
A1, A2,...,An S |
(*) |
образуют множество элементарных событий. Тогда события из (*), которые приводят к наступлению события A, называются благоприятствующими исходами для события A, m(A) – число благоприятствующих исходов.
Вероятностью события A называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события A к числу всех возможных исходов
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv2x1.jpg)
884 |
|
||
P(A) |
m(A) |
(8.3.1) |
|
n |
|||
|
|
Из классического определения следуют свойства вероятности:
1.0<P(A)<1,
2.P( )=1,
3.P( )=0.
A+ A = – достоверное событие, поэтому P(A) + P( A ) = 1 или P( A )=1–
P(A).
При вычислении вероятностей по классической схеме приходится решать фактически комбинаторные задачи. При решении конкретной комбинаторной задачи нужно вначале выяснить, каким способом вы будете ее решать, либо непосредственным применением принципов умножения и сложения, либо применением комбинаторных формул, но перед этим нужно выяснить какой вид комбинации имеется в задаче, важен ли в ней порядок или нет, допускаются повторения или нет.
Пример 1. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее наудачу извлекаются сразу два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты либо два белых шара, либо два разных цветных шара.
Решение. Поскольку в данной задаче неважен порядок, то для решения будем применять сочетания без повторения (шары не возвращаются обратно в урну). Найдем общее число возможных исходов:
n C 2 |
10 9 45. |
10 |
2 |
Теперь найдем число благоприятствующих возможных исходов. Два белых шара можно вынуть m1 C22 1 способом, два разных цветных шара
m2 C31 C51 3 5 15 способами. Тогда общее число благоприятствующих исходов, в соответствии с принципом сложения, равно m m1 m2 16 . Та-
ким образом,
P m1 m2 16 n 45
Пример 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры разные?
Решение. Предположим, что равновозможны появления любой из 10 цифр во всех позициях телефонного номера. Поскольку при составлении пятизначным номеров важен порядок и возможны повторения, то общее число возможных пятизначных номеров будет равно
n A105 105
Номера, у которых все цифры разные, – это размещения без повторе-
ний
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv3x1.jpg)
885
m A105 10 9 8 7 6 .
Таким образом, искомая вероятность (при сделанном предположении) будет равна
P m |
|
10 9 8 7 6 |
|
189 |
0,3024 |
|
105 |
625 |
|||||
n |
|
|
|
8.3.1.3. Статистическое определение вероятности
Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие A (m раз), тогда отношение mn при n
называется статистической вероятностью события A.
|
Опыты по подбрасыванию монеты |
Таблица 8.3.1 |
||
|
|
|||
Опыт |
Число опытов, n |
Появление герба, m |
m |
|
n |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Опыт Керриха |
10000 |
5087 |
0,5087 |
|
|
|
|
|
|
Опыт Бюффона |
4040 |
2048 |
0,5069 |
|
|
|
|
|
|
1 Опыт Пирсона |
12000 |
6019 |
0,5016 |
|
|
|
|
|
|
2 Опыт Пирсона |
24000 |
12012 |
0,5005 |
Из (табл. 8.3.1), описывающей опыт подбрасывания монеты следует,
что mn 0,5 , где mn – относительная частота или частость события A .
8.3.1.4. Геометрическое определение вероятности
Иногда, при рассмотрении бесконечных множеств, удобно рассматривать геометрическое определение вероятности.
Рассмотрим такой эксперимент. Точку бросают наугад на отрезок [a;b], расположенную на оси OX (рис. 8.3.1). Слово «наугад» означает, что все мыслимые положения точки на отрезке [a;b] равновозможны. Тогда пространство элементарных событий будет состоять из всех точек, принадлежащих отрезку [a;b] с одной координатой x. Это можно записать
= {ωi } = {x: a x b}.
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv4x1.jpg)
886
Данный эксперимент имеет несчетное множество равновозможных элементарных исходов. Если событие A в данном эксперименте есть попадание точки в часть отрезка [c;d] (рис. 8.3.1), то вероятность этого события будет равна отношению длин:
P(A) = длина (cd) |
= благоприятные исходы(А) . |
длина (ab) |
все исходы( ) |
a |
c |
d |
b |
x |
Рисунок 8.3.1.
Рассмотрим другой пример. Точку бросают наугад в область D, расположенную на плоскости XOY(рис. 8.3.2).
x
D
q
x
Рисунок 8.3.2
Пространство элементарных событий также несчетно и представляет собой множество точек с координатами (x,y), принадлежащих области D.
= {ω} = {(x,y): (x,y) D}
Вероятность попадания точки в часть области q (событие A) будет равна отношению площадей S:
P( A) S(q) S(A) .
S(D) S( )
Таким образом, геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области.
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv5x1.jpg)
887
Пример 3. Найти вероятность того, что точка случайным образом брошенная в квадрат ABCD со стороной 4, попадет в квадрат A1B1C1D1 со стороной 3, находящийся внутри ABCD (рис. 8.3.3.).
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A1 |
|
|
|
D1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 8.3.3.
Решение. Вероятность события определяется как отношение меры части области (в данном случае площади), благоприятствующей событию A –
SA1B1C1D1 к мере всей области – SABCD.
|
SA B C D |
9 |
|
||
P(A) |
1 1 1 1 |
|
|
|
. |
|
16 |
||||
|
SABCD |
|
С помощью геометрического определения вероятности можно решать не только задачи геометрического содержания. Классическим примером таких задач является задача о встрече.
Пример 4. Два лица A и B договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 900до 1000 часов. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 10 минут. Какова вероятность того, что они встретятся.
Решение. При решении такого рода задач необходимо правильно геометрически интерпретировать пространство элементарных событий и событие, вероятность которого находим.
Рассмотрим прямоугольную систему координат XOY, в качестве единиц масштаба выберем часы. Пусть x и y – моменты прихода A и B соответственно. Необходимым и достаточным условием встречи является выполнение неравенства |y–x| < 1/6 ( или x–1/6 < y < x+1/6). Тогда все возможные исходы будут являться точками квадрата со стороной 1. Заштрихованной области квадрата, ограниченной сторонами квадрата, а также прямыми y = x– 1/6 и y = x+1/6, соответствуют исходы благоприятствующие встрече (рис. 8.3.4). Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv6x1.jpg)
|
888 |
|
|
|
|
||
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
25 |
|
11 |
||
P |
|
|
1 |
|
|||
|
12 |
|
|
|
36 |
|
36 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
1/6 |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
Рисунок 8.3.4. |
|
|
|
Следует отметить, что геометрическое определение вероятности, так же как и классическое, на практике применяют для узкого круга задач, поскольку, одинаковая возможность элементарных исходов наблюдается очень редко, и, как правило, в искусственно организованных испытаниях. Например, в опытах с симметричными исходами, при проведении азартных игр, в различных лотереях, где каждому предмету специально обеспечивается равная возможность быть выбранным.
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv7x1.jpg)
889
ЛЕКЦИЯ 8.4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ФОРМУЛА БАЙЕСА
8.4.1. Основные теоремы теории вероятностей
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме их вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Доказательство. Пусть опыт имеет n равновозможных элементарных исходов = { ω1, ω2… ωn}, из них m – благоприятных событию A, k – собы-
тию B, тогда P(A) = mn , P(B)= kn Так как события А и В несовместны, то по-
явление любого из них (A+B) возможно в m+k случаях, следовательно
P(A B) m k m k P(A) P(B) . n n n
Следствие 1. Если A1, A2, ..., An – попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).
Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий A1, A2, ..., An , образующих полную группу, равна 1:
P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) =1.
Следствие 3. События A и A несовместны и образуют полную группу событий, поэтому
P(A A) P(A) P(A) 1.
Отсюда
P(A) 1 P(A).
Пример 1. В урне 30 шаров, из них 10 – красных, 5 – синих, 15 – белых. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Обозначим события: А – появление красного шара, В – появление синего шара.
Число всех исходов n=30, из них благоприятных событию A – десять, а
событию B – пять, т.е. P(A) 1030 13 , P(B) 305 16 . Нас интересует сумма несовместных событий А+В – появление либо красного, либо синего шара.
По теореме сложения вероятностей P(A B) P(A) P(B) 13 16 12 .
890
Пример 2. Из полной колоды карт (52 карты) наугад вынимают три карты (без возврата). Найти вероятность того, что среди вынутых карт будет хотя бы один туз.
Решение. Обозначим события:
A – появление одного туза в 3 взятых картах; B – появление двух тузов;
C – появление трех тузов;
D – появление 0 тузов в 3 взятых картах.
Нас интересует сумма несовместных событий (A+B+C) либо один, либо два, либо три туза (хотя бы один). состоит из равновозможных исходов, число которых равно числу способов взять 3 карты из52, т.е. числу сочетаний
n=C352 . Исходы, благоприятные событиям A, B, C, соответственно равны m (A) = C14 C242 , m(B) = C24 C148 , m(C) = C34 , следовательно
P(A) = C14 C482 |
; P(B) = C42 C148 |
; P(D) = |
C34 |
. |
|
|
|
|
|
||||
C523 |
C523 |
|
C523 |
|
|
|
Применяя теорему сложения вероятностей, получим |
|
|
||||
P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) = |
C14 C482 |
C42 C148 |
C34 |
0,217. |
||
|
C523 |
|
||||
|
|
|
|
|
Вероятность события (A+B+C) можно было найти другим способом. Событие D (появление 0 тузов) является противоположным событию (A+B+C), поэтому
P(A+B+C) = 1 – P(D)
P(D) = C348 |
= |
48 47 46 |
= 0,783; P(A+B+C) = 1 – 0,783 = 0,217. |
3 |
|
52 51 50 |
|
C52 |
|
|
|
Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A B).
Мы не будем доказывать эту теорему, отметим только, что та часть благоприятных исходов, которая входит как в событие А, так и в событие В при сложении вероятностей этих событий суммируется дважды. Поэтому нужно вычесть вероятность их совместного появления.
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv9x1.jpg)
891
Пример 3.Чему равна вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 2, либо 5?
Решение. Обозначим события: A – двухзначное число кратно 2, B – двухзначное число кратно 5.
Нас интересует сумма совместных событий (A+B) – появление числа, кратного либо 2, либо 5, либо обоим вместе.
Количество всех двухзначных чисел n=90, из них благоприятных событию A (число кратно 2) m(A)=45, событию B (число кратно 5) m(B) =18. События A и B имеют общие исходы, так как среди двухзначных чисел есть кратные 2 и 5 одновременно, таких чисел m(AB) = 9.
По теореме сложения вероятностей совместных событий имеем
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 9045 1890 909 5490 .
Для следующих теорем введем понятие зависимых и независимых событий. Два события A и B называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).
Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
P(A·B) = P(A)·P(B).
Пример 4. Найти вероятность совместного появления «герба» при одновременном бросании двух монет.
Решение. Обозначим события:
A – появление «герба» на первой монете, B – появление «герба» на второй монете. Выпадение «герба» на одной из монет никак не влияет на вероятность его появления на другой, поэтому А и В независимые события,
P(A·B) = P(A)·P (B) = 12 12 14 .
Следствие. Вероятность произведения n независимых событий A1, A2,
..., An равна произведению их вероятностей:
P(A1·A2·...·An) = P(A1)·Р(A2)·...· P(An).
Условной вероятностью события В при условии, что событие A уже произошло, называется число P(AB)/P(A),
которое обозначается
P(AB)/P(A) = P(B/A) = PA(B).
Аналогично, P(AB)/P(B)=P(A/B)=PB(A) – условная вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.
![](/html/14952/812/html_tRKhbrUF9_.DtNv/htmlconvd-iorCZv10x1.jpg)
892
Теорема 4. Вероятность произведения 2-х зависимых событий A и B равна произведению вероятности наступления события A на условную вероятность наступления события B при условии, что событие A уже произошло:
P(A·B)=P(A)·P(B/A).
Следствие. Если события A и B независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.
Событие В не зависит от события А, если P(B/A)=P(B). Теорему 4 можно обобщить на n событий.
Теорема 5. Вероятность произведения n зависимых событий A1, A2, ..., An равна произведению последовательных условных вероятностей:
P(A1 A2 ... An)=P(A1)·P(A2/A1).....P(An/A1·A2 ·...·An–1).
Теорема 6. Вероятность наступления хотя бы одного из событий A1, A2,..., An равна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний событий A1, A2,...,An:
P(A)=1–P( A1 A2 ... An ) =
= 1–P( A1 )·P( A2 / A1 )·…·P( An / A1 A2 ... An 1 ).
Следствие 1. Вероятность наступления хотя бы одного из событий A1, A2,...,An независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:
P(A)=1–P(A1)P(A2)...P(An).
Следствие 2. Если события A1, A2, ..., An независимы и имеют одинако-
вую вероятность появиться (P(A1) = P(A2) = …=P(An) = p, P( Ai ) = 1–p = q), то
вероятность появления хотя бы одного из них равна
P(A)=1–qn.
Замечание. В теоремах 1–6 неявно предполагается, что все события, в рамках каждой теоремы, принадлежат одному пространству элементарных событий.
Пример 5. Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что он ответит на предложенные ему последовательно 3 вопроса?
Решение. Обозначим события:
A – студент ответил на первый вопрос, B – ответил на второй вопрос,
C – ответил на третий вопрос.
События A, B, C – зависимые, так как вероятность ответов на каждый последующий вопрос зависит от того, ответил или нет студент на предыдущие вопросы. По теореме умножения находим
P(A·B·C)=P(A) ·P(A/B) ·P(C/AB)= 2025 1924 1823 11557 0,5 .