В.С. Маляр ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

Рівняння Кірхгофа. Зображене на рис. 2.2 електричне коло має p = 7 сім віток, в одній з яких струм відомий (струм J

джерела струму), і q = 4 чотири вузли. Необхідно знайти шість невідомих струмів. Отже, за першим законом Кірхгофа необхідно скласти n1 = q − 1 = 3 рівняння, а за другим n2 = p − q + 1− nJ = 3 , де nJ – кількість віток з ДС.

Задавшись додатними напрямками струмів та вибравши

Метод контурних струмів. Для вибраних, як показано на рис. 2.2, трьох незалежних контурів запишемо рівняння за методом контурних струмів, спрямувавши Ik1 , Ik 2 , Ik3 за годин-

никовою стрілкою. Крім того, вважатимемо, що відомий струм J джерела струму замикається через резистор R2 .

Струми у вітках обчислюємо на підставі контурних струмів за формулами

Метод вузлових напруг. Приймемо потенціал вузла 0 таким, що дорівнює нулю, тоді невідомими будуть вузлові напруги U10 , U20 , U30 . Складемо систему рівнянь

41

2.4. Метод еквівалентного генератора

Під час розрахунку електричних кіл може виникнути необхідність визначити струми не всіх віток, а лише однієї, або дослідити поведінку електричного кола у разі зміни параметрів однієї вітки. На розв’язання цієї задачі спрямований метод еквівалентного генератора, згідно з яким все електричне коло, за винятком вітки, в якій необхідно визначити величину струму, замінюється еквівалентним генератором з ЕРС Eг , і внутрішнім

опором Rг . Інакше кажучи, вся схема, за винятком згаданої вітки,

замінюється активним двополюсником, а згідно з теоремою Гельмгольца-Тевенена будь-який активний двополюсник може бути заміщений еквівалентним генератором. Параметри еквівалентного генератора можна визначити як на основі розрахунку, так і експериментально.

Для визначення Eг розрахунково необхідно будь-яким

методом розрахувати електричне коло за умови, що вітка, у якій необхідно знайти струм, розімкнена, і знайти напругу між вузлами, до яких під’єднана ця вітка. Це і буде ЕРС Eг . Внут-

рішній опір еквівалентного генератора Rг визначають шляхом

42

еквівалентних перетворень електричного кола стосовно вузлів, до яких під’єднана вітка з шуканим струмом, за умови, що всі джерела ЕРС закорочені, а всі ДС розімкнені. Отже, необхідно знайти вхідний опір схеми стосовно вузлів, до яких під’єднана вітка, в якій необхідно визначити струм. Обчисливши Eг та Rг ,

під’єднуємо цю вітку до затискачів еквівалентного генератора і розраховуємо просте електричне коло.

Експериментальний спосіб визначення ЕРС еквівалентного генератора полягає у вимірюванні напруги U0 = Ег між вузлами, до яких під’єднана вітка, за умови, що вона розімкнена (так званий неробочий режим). Для визначення опору Rг еквівалентного генератора необхідно виміряти струм короткого замикання Ik , увімкнувши між зазначеними вузлами амперметр. Значення опору Rг визначаємо за формулою Rг = U0 / Ik .

Приклад 2.5. Для зображеної на рис. 2.1 схеми знайти методом еквівалентного генератора струм I1 вітки, яка під’єднана до вузлів “0” та “1”. Перетворена до еквівалентного генератора схема зображена на рис. 2.3, в якій Eг , Rг – ЕРС і внутрішній опір еквівалентного генератора, яким замінена вся схема, крім вітки зі струмом I1 .

Рис. 2.3

Як видно зі схеми рис. 2.3, невідомий струм I1 визначається за формулою

I1 = E1 − Eг . R1 + Rг

43

Основні положення. Метод еквівалентного генератора застосовують для визначення струму в одній вітці. Вся схема, крім цієї вітки, замінюється еквівалентним генератором, ЕРС якого визначається як напруга між вузлами, до яких приєднана вітка, за умови що вона розімкнена, а внутрішній опір дорівнює еквівалентному вхідному опорові стосовно цієї вітки.

Параметри еквівалентного генератора можна визначити розрахунково або експериментально.

2.5. Метод накладання

Принцип накладання випливає з лінійності причинно-наслід- кових зв’язків у лінійних електричних колах, оскільки в них параметри не залежать від значень струмів та напруг. Отже, його можна застосовувати для аналізу лише лінійних електричних кіл. Суть методу накладання полягає у тому, що струм будь-якої вітки електричного кола визначається як сума струмів, зумовлених дією кожного джерела окремо, тобто накладанням (суперпозицією). Принцип накладання справедливий для будь-яких лінійних взаємозв’язків, однак його не можна використовувати для рівнянь балансу потужностей, оскільки тут причинно-наслідковізв’язкиквадратичні.

Принцип накладання дає змогу звести розв’язування задачі розрахунку електричного кола з m джерелами енергії до розрахунку m простих кіл, у кожному з яких діє лише одне джерело, а всі решта вилучені. Решта джерел ЕРС повинні бути замкнені накоротко із збереженням у вітках їх внутрішніх опорів, а джерела струму – розімкнені із збереженням паралельно увімкнених до них внутрішніх провідностей.

Відзначимо, що найефективнішим методом розрахунку електричних кіл з одним джерелом енергії є метод еквівалентних перетворень. Звідси випливає, що метод накладання доцільно використовувати разом з методом еквівалентних перетворень.

Основні положення. Метод накладання застосовують лише для лінійних електричних кіл. Його суть полягає в тому, що струм (напруга) кожної вітки визначається як сума струмів (напруг), зумовленихдієюкожного джерелаелектричноїенергії, зокрема.

Принцип накладання неправомірно застосовувати для квадратичних форм, якими є вирази для потужностей.

44

2.6. Еквівалентні перетворення схем електричних кіл

У багатьох випадках розрахунок і аналіз складних електричних кіл можна істотно спростити за допомогою перетворення (трансфігурації), суть якого полягає у зміні їхньої структури. Еквівалентним називається перетворення схеми електричного кола, за якого зміна структури перетворюваної частини схеми не впливає на зміну струмів та напруг у неперетвореній частині електричної схеми. Можна здійснювати перетворення не тільки пасивних ділянок електричного кола, але й з джерелами електричної енергії. Одним із прикладів є перетворення джерела ЕРС у ДС і навпаки. Однак найчастіше виникає необхідність перетворювати пасивні електричні кола. Розглянемо їх.

Розгалужене електричне коло з одним джерелом енергії можна еквівалентними перетвореннями звести до простого з одним еквівалентним пасивним елементом. Для цього необхідно користуватись правилами заміни не тільки послідовно та паралельно з’єднаних пасивних елементів одним еквівалентним, але й перетворенням з’єднання зіркоюв еквівалентний трикутникі навпаки.

Послідовно з’єднані пасивні елементарні двополюсники можна замінити одним еквівалентним, опір якого дорівнює сумі опорів окремих двополюсників. Наприклад, для зображеного на рис. 2.4 електричного кола

U = U1 +U2 + U3 = R1I + R2 I + R3I = (R1 + R2 + R3 )I = Re I. (2.11)

Отже, у разі послідовного з’єднання n елементів еквівалентний опір визначають за формулою

Розглянемо паралельне з’єднання пасивних двополюсників (рис. 2.5). У цьому разі всі двополюсники перебувають під однаковою напругою, а струм k -го двополюсника визначається за законом Ома

де Ge – еквівалентна провідність, яка у разі паралельного з’єднання n елементів двополюсників визначається за формулою

k =1

що дає змогу перейти до еквівалентного опору як оберненої величини.

У складних колах можуть бути з’єднання двополюсників, які не можна зарахувати ні до послідовного, ні до паралельного. Це з’єднання зіркою та трикутником (рис. 2.6).

1

R31 R12

R23

Рис. 2.6

46

Не заглиблюючись у теоретичне обґрунтування та дотримуючись наведених на рис. 2.6 позначень, наводимо формули, які дають змогу перетворити з’єднані у трипроменеву зірку резистивні елементи в еквівалентний трикутник і навпаки.

(2.16)

Оскільки послідовно з’єднані пасивні елементи можливі лише в межах вітки, то перетворення кола необхідно починати з їх заміни одним еквівалентним.

Основні положення. Суть еквівалентного перетворення електричної схеми полягає у зміні структури електричного кола з метою спрощення розрахунків. Під час еквівалентних перетворень струми у неперетвореній частині електричного кола не змінюються.

До найуживаніших еквівалентних перетворень належать: заміна послідовного та паралельного з’єднань елементів одним, а також перетворення з’єднання зіркою на з’єднання трикутником і навпаки.

2.7. Баланс потужностей в електричному колі постійного струму

Для повного аналізу електричного стану складного кола необхідно визначити не тільки струми та напруги на його елементах, але й потужності джерел та споживачів енергії. Згідно із законом збереження енергії в електричному колі як у замкненій системі електрична енергія, яка генерується джерелами, дорівнює енергії, яку споживають приймачі. Звідси, як наслідок, витікає, що в будь-якому електричному колі існує баланс потужностей. Рівняння балансу потужностей має вигляд

Основні положення. Для електричного кола постійного струму як замкненої системи виконується баланс потужностей, якийєнаслідкомзаконузбереженняенергії.

Згідно з рівнянням балансу потужностей сума потужностей джерелелектричноїенергіїдорівнюєсуміпотужностейспоживачів.

Потужність джерела може бути як додатною, так і від’ємною, апотужності споживачівзавждидодатні.

48

2.8. Питання та завдання для самостійної роботи

Контрольні питання

1.Як скласти рівняння за законами Кірхгофа для електричного кола постійного струму?

2.У чому полягає суть розрахунку електричного кола за методом контурних струмів?

3.У чому полягає суть розрахунку електричного кола за методом накладання?

4.Чи можна застосувати метод накладання для визначення потужності в лінійних електричних колах?

5.Як скласти систему рівнянь за методом контурних струмів?

6.Як визначають струми віток у методі контурних струмів?

7.У чому полягає перевага методу контурних струмів порівняно з методом законів Кірхгофа?

8.У чому полягає суть методу розрахунку електричного кола за методом вузлових напруг?

9.Який вузол називають базовим у методі вузлових напруг?

10.Які напруги називають вузловими в методі вузлових напруг?

11.Як скласти систему рівнянь за методом вузлових напруг?

12.Як визначаються струми віток у методі вузлових напруг?

13.У чому полягає перевага методу вузлових напруг порівняно з методом законів Кірхгофа?

14.У якому разі доцільно використовувати для аналізу електричних кіл метод контурних струмів, а в якому метод вузлових напруг?

15.У чому полягає суть методу еквівалентного генератора?

16.Як визначається ЕРС еквівалентного генератора?

17.Як визначити внутрішній опір еквівалентного генератора?

18.До яких електричних кіл можна застосовувати метод накладання (суперпозиції) і в чому полягає його суть?

19.У чому полягає суть еквівалентних перетворень електричного кола?

20.Як визначається потужність джерела ЕРС, джерела струму, резистивного елемента?

21.Як скласти рівняння балансу потужностей для електричного кола постійного струму?

Екзаменаційні питання

1.Закони Ома та Кірхгофа для електричних кіл постійного струму та їх застосування до розрахунку розгалужених електричних кіл.

2.Розрахунок розгалужених електричних кіл за методом контурних струмів.

3.Розрахунок розгалужених електричних кіл за методом вузлових напруг.

4.Метод еквівалентного генератора. Теорема компенсації.

5.Передача енергії від активного двополюсника до пасивного. Узгоджене навантаження.

49

6.Теорема про еквівалентний генератор і її застосування до розрахунку електричних кіл.

7.Розрахунок електричного кола методом накладання.

8.Потужність у колі постійного струму. Баланс потужностей. Вимірювання потужності.

Завдання для самостійної роботи

E3 R3

50