Упражнение 5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Графическое окно разбить на две области. В первой области изобразить прямую L1, во второй – прямую L2. В заголовки вывести соответствующие уравнения вида (4).

1. Прямая L1 задана двумя точками и.

Определиться с входными данными.

Выразить из канонического уравнения y, как функцию от x.

Используя функцию plot(), построить прямую L1. Пометить прямую L1.

Отметить и подписать на прямой точки и.

Провести с помощью функции line( ) оси координат черного цвета.

Пометить начало координат.

Найти и построить направляющий вектор , берущим начало

а) из начала координат, б) из точки .

Найти и построить нормальный вектор , берущим начало

а) из начала координат, б) из точки .

2. Сделать все тоже самое для прямой L2, проходящей через точки и.

5. Параметрическое задание прямой.

Рассмотрим совсем иной подход к заданию прямой на плоскости, см. рис.9. Пусть на плоскости задана прямая, проходящая через точку в направлении вектора.

Рис. 9

Рассмотрим вектор , где- любая точка прямойL. Введем параметр t – любое вещественное число, см. рис.10.

Условие коллинеарности прямой и направляющего вектора с помощью параметра t можно записать в виде векторного уравнения: .

Отсюда понятен геометрический смысл параметра прямой t:

• модуль числа означает, сколько векторов“укладывается” на векторе,

• знак обозначает расположение точки на прямойL относительно :

при точканаходится с той стороны, куда направлен векторпри– в противоположной стороне, см. рис. 10.

Рис. 10

Параметрическое уравнение прямой в векторной форме однозначно определяет прямую L на плоскости и не зависит от системы координат.

Введем декартовую прямоугольную систему координат OXY, координаты точки , координаты направляющего вектораи координаты произвольной точки прямой.

Как было сказано выше, условие коллинеарности направляющего вектора и прямой - условие пропорциональности соответствующих координат векторов и .Вместе с параметром t получаем соотношение:

(5)

Рис. 11

Из уравнения (5) получаем два соотношения:

(6)

Уравнение (6) называется параметрическим уравнением прямой L, проходящей через точку параллельно направлению вектора.

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(7)

Рис.12.

Здесь – угловой коэффициент, т.е., где- угол наклона прямойк осиУравнением (7) может быть задана любая прямая, неколлинеарная оси

7. Уравнение прямой в отрезках.

(8)

Рис.13.

Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой от осей координат. При этом допускается, чтоилиУравнением (7) может быть задана любая прямая, за исключением прямых, коллинеарных какой-либо из осей координат, а также прямых, проходящих через начало координат.

8. Общее уравнение прямой на плоскости

Если на плоскости фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат OXY, всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y определяет относительно этой системы прямую линию.

В самом деле, пусть задано уравнение первой степени

, (9)

в котором A, B и C – любые вещественные числа, причем A и B не равны одновременно нулю. Уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение , координаты которой удовлетворяют уравнению (9):

. (10)

Вычитая из уравнения (9) тождество (10), мы получим уже знакомое уравнение (2)

,

эквивалентное уравнению (9).

Числа A и B определяют координаты нормального вектора прямой , т.е. любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.

Частные случаи формулы (9) – неполные уравнения прямой:

1. А = 0, B ≠ 0 - уравнение прямой приводится к виду . Это уравнение прямой параллельной осиOx; при C = 0 прямая y = 0 совпадет с осью Ox.

2. B = 0, A ≠ 0 - уравнение прямой приводится к виду . Это уравнение прямой параллельной осиOy; при C = 0 прямая x = 0 совпадет с осью Oy.

3. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - уравнение прямой приводится к виду . Прямая проходит через начало координат. (ПриA = 0 прямая y = 0 будет совпадать с осью Ox. При B = 0 прямая x = 0 будет совпадать с осью Oy)

Построение прямой линии по уравнению (1) означает, что входными параметрами в систему MATLAB являются коэффициенты уравнения (1) A, B и C. Поэтому, если B ≠ 0, мы всегда можем выразить y и подать его на вход одноименному аргументу функции plot(x,y). Для построения прямой будет достаточно двух точек, поэтому аргумент x достаточно задать двумерным массивом, а аргумент y будет вычисляться по формуле , где коэффициентыA, B и C задаются заранее. Эта формула будет для каждого х вычислять свой у.