3. Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку в заданном направлении. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть на плоскости (см. рис.5) заданы декартовая система координат OXY, точкаи ненулевой вектор, гдеk и l - любые действительные числа, неравные нулю одновременно.

Рис. 5.

Требуется построить прямую L, проходящую через точку параллельно направлению вектора, и составить ее уравнение.

Рассмотрим вектор , где- любая точка прямойL. Точка M принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда , см. рис.6.

Рис.6.

Условие коллинеарности вектора прямой , а, значит, и самой прямой, направляющему вектору- пропорциональность соответствующих координат векторов - даетуравнение прямой линии, проходящей через заданную точку в заданном направлении:

(3)

Уравнение вида (3) называется каноническим уравнением прямой.

Ненулевой вектор называетсянаправляющим вектором прямой.

Отметим, что в уравнении (3) формально допускается 0 в знаменателе. Это не означает, конечно, что допустимо деление на 0. Формулу (3) следует считать эквивалентом равенства , в которомникакого деления на 0 нет. Уравнения, в которых одна из компонент направляющего вектора равна нулю, называются неполными.

Приведём примеры неполных уравнений прямых линий:

• уравнение определяет прямуюпроходящую через точкупараллельно осинаправляющий вектор прямой.

• уравнение - уравнение оси, прямаяy = 0, проходящая через начало координат; направляющий вектор прямой .

Итак, вместо нормального вектора и точки положение прямой L на плоскости может быть задано направляющим вектором и все той же точкой, см. рис. 7.

Рис.7.

Направляющий вектор прямой ортогонален нормальному вектору прямой.

По виду уравнения прямой вида (2) мы знаем координаты вектора нормали , а из условия ортогональности векторов нормали и направляющего вектора следует, что направляющий вектор будет иметь координаты.

По виду уравнения прямой вида (3) мы знаем координаты направляющего вектора , а стало быть, и координаты нормального вектора.

Упражнение 4. Каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая L проходит через точку параллельно направляющему вектору.

1. Записать каноническое уравнение прямой (см формулу (3)) и сделать его заголовком графика.

2. Входными параметрами сделать координаты k и lнаправляющего вектораи координатыx₀ и y₀ точки .

3. Выразить из канонического уравнения y, как функцию от x.

4. Используя функцию plot(), построить прямую L, сплошную, фиолетового (m) цвета, толщины 2. Значения абсцисс точек прямой – массив, состоящий из двух точек.

5. Пометить прямую L. Отметить на прямой точку .

6. Провести с помощью функции line( ) оси координат черного цвета. Обозначить начало координат.

7. Построить направляющий вектор и орт вектора, берущими начало

а) в начале координат; б) в точке

8. Найти и построить нормальный вектор и орт вектора, исходящими

а) из начала координат; б) из точки _.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть на плоскости (см. рис.8) декартовая система координат OXY, две точкии. Требуется построить уравнение прямой, проходящей через эти две точки и составить ее уравнение.

Рис.8.

Уравнение этой прямой можно построить, сведя задачу к предыдущей. То есть надо найти направляющий вектор ,а в качестве точки взять любую из заданных точек, например,.

(4)