Упражнение 1. Покоординатный перевод из одной системы координат в другую.

1. Наберите в командном окне « helpcart2pol»

>> helpcart2pol

С помощью команды «[phi,r]=cart2pol(3,3)» мы можем получить полярные координаты некоторой точек с декартовыми (Cartesian- картезианскими) координатами (3,3) и (-3,-3)

>> [phi, r]=cart2pol(3,3)

phi = 0.7854 % phi=pi/4, phi = 0.7854

r = 4.2426

>> r=sqrt(3^2+3^2)

r = 4.2426

>> phi=pi/4

phi = 0.7854

>> [phi, r]=cart2pol(-3,-3)

phi = -2.3562

r= 4.2426

Приведем «письменное» решение:

Действительно, у точки с координатами (3,3)

расстояние до начала координат –

полярный радиус ,

а угол отклонения соответствующего радиус-вектора, с началом в начале координат и концом в точке (3,3) от оси OX (полярной оси) –

полярный угол .

У точки с координатами (-3,-3)

расстояние до начала координат – то же

полярный радиус ,

а угол отклонения соответствующего радиус-вектора, с началом в начале координат и концом в точке (-3,3) от оси положительного направления оси OX (полярной оси) –

полярный угол

Ниже (на рис. 1) видно иллюстрацию данного примера. Позже вы можете строить такие же рисунки.

Рис. 1.

2. Наберите в командном окне « helppol2cart»

>> helppol2cart

С помощью команды «[x,y]=pol2cart(-pi/4, 2*sqrt(2))» мы можем получить декартовые координаты некоторой точки с полярными углом и радиусом.

Мы должны будем получить декартовые координаты (2, -2) точки, расположенной в четвертом квадранте координатной плоскости.

>> [x,y]=pol2cart(-pi/4,2*sqrt(2))

x = 2

y = -2

2. Плоские кривые.

   1. Понятие уравнения линии на плосоксти.

Предположим, что на плоскости заданы декартова система координат и некоторая линия.

Рассмотрим уравнение G (x, y) = 0, связывающее две переменныеxиyнад каким-то полемF(действительныхRили комплексныхCчисел).

Уравнение G (x, y) = 0называется уравнением линииотносительно заданной системы координат, если уравнению G (x, y) = 0удовлетворяют координатыилюбой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координатыини одной точки, не лежащей на линии.

Согласно этому определению сама линия представляет собойгеометрическое место точек над полем F, координаты которых удовлетворяют уравнению G (x, y) = 0.

Если в заданной системе координат уравнение G (x, y) = 0является уравнением линии, будем говорить, что G (x, y) = 0определяет линию.

Например, линия L, заданная уравнением- мнимая окружность - содержит пустое множество точек над полем действительных чиселR.

Линия называетсяалгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением

G (x, y) = 0 ,

в котором G (x, y) - алгебраический полином (т.е. сумма конечного числа слагаемых вида, где- целые,- некоторые постоянные поляR).

Если при этом G (x, y) – алгебраический полином порядкаn(n= 1, 2, 3…), то линияназываетсялинией порядка n.

Например, окружность, парабола – алгебраические линии второго порядка. Уравнение окружности имеет вид . Уравнение параболы -.

Уравнения прямой на плоскости, уравнение плоскости - уравнения первого порядка. Такие уравнения называются линейными. И мы работали с линейными объектами в предыдущем практикуме.

В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли

(см. Википедии. о прикладном назначении)

и овал Кассини(см. Википедию)

Кривые шестого порядка: астроидаинефроида.

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

Примеры: Синусоида,Циклоида,Спираль Архимеда,Трактриса,Цепная линия,Гиперболическая спираль.

Информацию о данных кривых можно посмотреть в Википедии, пройдя по ссылкам. А также в (Л.4, стр. 57) можно познакомиться с основными алгебраическими и трансцендентными кривыми второго порядка. Во втором семестре в курсе математического анализа вы будете с ними работать. С некоторыми из них мы познакомимся ниже.