Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.

Модуль 1. Аналитическая геометрия.

Цель модуля.С помощью графических иллюстрацийMATLABосвоить фундаментальные понятия векторной алгебры и аналитической геометрии.

Лабораторный практикум 1.4. Кривые и поверхности второго порядка.

Цель работы.Изучение средствами системыMATLABпонятий:

системы координат;

поворот системы координат;

уравнение плоской линии;

построение линий различных порядков на плоскости;

кривые и поверхности второго порядка.

Продолжительность работы. 3 академических часа в аудитории и 4 часа на самостоятельную работу (2 недели)

Срок сдачи: 9, 11 недели.

Оборудование, приборы, инструментарий:письменная часть работы выполняется в тетради, электронная часть работы выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения.

1. Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

2. Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.

3. При выполнении примеров и упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуетсясначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху,-проконсультироваться с преподавателем.

4. Дома доделать примеры и упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы (см. ниже).

5. Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить в виде документа MicrosoftWord, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:

1. № упражнения;

2. текст упражнения;

3. команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним

4. результаты их выполнения, включая построенные графики;

5. выводыи комментарии к полученным результатам.

*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается.

**При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.

1. Системы координат.

Декартовой системой координатобычно называют прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом по осям координат. В плоскости она задается двумя взаимно перпендикулярными осями(ось абсцисс) и(ось ординат), пересекающимися в одной точкеO, называемой началом координат. Таким образом, положение любой точкина плоскости однозначно определяется двумя числами: первое число- величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на «положительную» часть оси, или с минусом, если на «отрицательную»), а второе число- величина проекции на вторую ось. Эти числа называются декартовыми координатами точки. Записьозначает, что точкаимеет декартовые координаты на плоскостии.

Говорят, что на плоскости введена полярная системакоординат, если заданы:

1) некоторая точка O, называемая полюсом;

2) некоторый луч , исходящий из точкиOи называемыйполярной осью,

3) масштаб для измерения длин.

При задании полярной системы координат должно быть сказано какие повороты вокруг точки O считаются положительными (обычно это повороты против часовой стрелки)

Полярными координатами точки M называют два числа:полярный радиуси полярный угол -угол, на который следует повернуть ось для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора. Запись M(φ,r)означает, что точкаимеет полярный координатыφ и .

«φ» - греческая буква «фи» - традиционное обозначение полярного угла. Полярный радиус помимо латинской буквы «r» также обозначают греческой буквой «ρ» - «ро».

Полярный угол φ имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину , гдеn – целое положительное число). Значение угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

При одновременном рассмотрении декартовой и полярной систем координат

• полярный полюс совпадает с началом декартовых координат

• полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс

• пользуются одним и тем же масштабом для измерения длин

• при определении полярных углов положительными считают повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат. Таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось OX направлена вправо, а ось OY - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть на плоскости введены:

правая декартовая система координат

(т. е. такая, что кратчайший поворот от оси OX к оси OY происходит против часовой стрелки)

и полярная система ,

причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс OX.

Тогда связь между декартовыми M(x,y) и полярнымиM(φ,r) координатами произвольной точки плоскостизадается формулами:

; .

MATLABимеет встроенные команды для покоординатного перевода из одной системы координат в другую. Так, например, «cart2pol» переводит из картезианской (декартовой) системы координат в полярную.