Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.

Модуль 2. Линейная алгебра.

Цель модуля.С помощью встроенных команд (библиотечных функций)MATLABи самостоятельно создаваемых алгоритмов (М-файлов, М-функций) освоить фундаментальные понятия линейной алгебры: точные и приближенные методы решений систем линейных алгебраических уравнений первого порядка; линейное пространство, линейные операторы, квадратичные формы, критерий Сильвестра. Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка.

Лабораторный практикум 2.2. Линейные операторы. Собственные числа собственные значения.

Цель работы.Научиться создавать алгоритмы в средеMATLABдля наилучшего понимания и демонстрации сути понятий линейного оператора, ортонормированного базиса. С помощью средств системыMATLABосвоить понятия линейного оператора, ортонормированного базиса, процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Продолжительность работы. 4 академических часа в аудитории и 4 часа на самостоятельную работу (2 недели)

Срок сдачи: 14 неделя.

Оборудование, приборы, инструментарий.Письменная часть работы выполняется в тетради, электронная часть работы выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения.

1. Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

2. Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.

3. При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.

4. Дома доделать упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы (см. ниже).

5. Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:

• № упражнения;

• текст упражнения;

• команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним

• результаты их выполнения, включая построенные графики;

• выводы и комментарии к полученным результатам.

*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается.

**При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.

1. Линейный оператор (линейное преобразование, линейное отображение)

Линейным пространством называется множество объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом определены операции сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами.

Линейные пространства, для элементов которых определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же свойствами, что и правило скалярного произведения двух свободных векторов.Линейные пространства, в которых определено скалярное произведение, так и называются -линейными пространствами со скалярными произведением.(Л.2, Л.3, Л.4)

Линейное пространство со скалярным произведением над полем действительных чисел называется евклидовым пространством.

Линейное пространство со скалярным произведением над полем комплексных чисел называется унитарным пространством.

Пусть V- линейное пространство и каждому векторуX, принадлежащемуV, поставлен в соответствие векторYиз того же линейного пространстваV. Отображение (закон, функция)Aосуществляющее это соответствие по некоторому закону называетсяоператором, определенным в линейном пространствеV. Также говорят, оператор – отображение осуществляющее отображение пространстваVв себя.

Обозначение , ,или.

Линейные отображения линейных и евклидовых пространств - это такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента.

ИТАК,

оператор называется линейным, если выполняются два условия:

- отображение суммы рано сумме отображений.

- отображение произведения элемента на число λ равно произведению этого числа на отображение элемента.

Пусть A– линейный оператор в конечномерном пространствеVи- некоторый базис линейного пространства. Найти отображение каждого базисного вектора называется разложением вектора по базису. Каждый результат отображенияa_i, гдеi= 1,2,…,n, это вектор, имеющий компоненты в том же базисе.

Матрица, столбцы которой суть компоненты образов a_i, базисных векторовe_i, называется матрицей оператора в базисе