Упражнение 3. Вычислить площадь треугольника с помощью векторного произведения

Вычислить площадь треугольника с вершинами иИзобразить плоскость треугольника. Как соотносятся (алгебраически и геометрически)площадь треугольникаи векторное произведение. Изобразить это соответствие по аналогии с предыдущим упражнением.

Отметим, что векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (которого мы здесь не касались) наряду со скалярным произведением используется не только для вычисления площадей и объёмов, но является одним из основных инструментов для исследования прямых и плоскостей в пространстве (задач на составление уравнений прямых и плоскостей, взаимное расположение прямых и плоскостей и т.д.).

3. Прямая на плоскости.

   1. Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

(нумерацию рисунков и формул начнем заново)

Пусть на плоскости (см. рис.1) заданы декартовая система координат OXY, точкаи ненулевой вектор, где числаAиBлюбые действительные числа, неравные нулю одновременно.

Требуется построить прямую L, проходящую через точкуперпендикулярно направлению вектора, и составить ее уравнение

Рассмотрим вектор , где- любая точка прямойL. Точка M принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда , см. рис.2.

Рис.1. Рис.2.

Значит, будет выполняться условие равенства нулю скалярного произведения между взаимно перпендикулярными (ортогональными) векторами

(1)

Уравнение (1) – векторное уравнениепрямойL,проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору.

Вектор называетсянормальным вектором прямой.

Иными словами нормальный вектор прямой- это ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Записав векторное уравнение (1) в координатной форме получим: если прямая L имеет нормальный вектори проходит через точку, то её уравнение может быть записано в виде:

. (2)

При построении прямой линии будем использовать функцию plot(x,y), в которой аргумент yбудет вычисляться по формуле. Координаты нормального вектораи координаты точки прямойявляются входными параметрами в системуMATLAB.

2. Построение уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

Задача.Построитьв тетради и в MATLABпрямуюL, проходящую через точкус нормальным вектором. Записать и вывести в заголовок уравнение прямой вида (2).

Обучающий пример будет состоять из трех частей. Мы постепенно освоим процедуру создания графической иллюстрации к задачам аналитической геометрии. При написании программ, главным образом, нужно стремиться к тому, чтобы команды тела программы были написаны в общем виде (как это будет показано в части 3), а в комментариях описываем эти команды с конкретными числовыми данными и с ожидаемым результатом на основе письменного решения.

Часть 1.

Построить штриховую «--» прямую линию красного цвета толщины 2.

Значение абсцисс точек прямой изменяются в диапазоне от – 2 до 6 с шагом 2.

В узловых точках вывести маркеры красного цвета «r» в виде шестиконечных звезд «h».

Вопрос: сколько будет узловых точек у функции plot( )?

В заголовок вывести общее уравнение прямой.

Построить и обозначить оси координат.

Отметить точку .

Решение:

В окне редактора Editorсоздаем М-файл (скрипт):

% часть 1

% задание исходных данных - коэффициентов уравнения и начальной точки M0(4,2):

A=-1; B=1; x0=4; y0=2;

% формирование диапазона абсцисс

x=-2:2:6; % массив размерности 1х5;

% Вычисление значений ординат

y=(-A/B)*(x-x0)+y0; % также получим массив размерности 1х5;

% Вопрос: сколько будет узловых точек у функции plot( )?

% Ответ:

% Так как для аргументов функции plot были созданы массивы размерности1х5,

% то узловых точек будет 5.

% построение красной штриховой линии с 5-ю маркерами в виде 6-конечных звезд

plot(x,y,'r--h', 'LineWidth',2)

% построение осей координат

line([-3,0;7,0],[0,-5;0,5],'Color','black')

% обозначение осей и ввод заголовка

xlabel('X'),ylabel('Y'), title(' -3 (x - 4) + 3 (y - 2) = 0')

% включим отображение координатной сетки и режим добавления графиков

grid on, hold on

% установим одинаковый масштаб

axis equal

% обозначим прямую L и точку M0(4,2)

% пометим прямую L

text(-1.75,-2.5,'L')

%пометим точку M0(4,2) круговым маркером черного цвета

plot(4,2,'o','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','k',...

'MarkerSize',8)

% и выведем обозначение точки M0(4,2)

text(4.2,1,'M_0(4,2)')

Получаем график (рис.3) прямой L:, проходящей через точку.

Рис.3.