2. Итерационное уточнение решения. Вектор невязки.

Вычислительную катастрофу в примере предыдущего пункта легко исправить, не прибегая к процессу выбора ведущего элемента. Для этого имеется процедура итерационного уточнения решения.

Пусть x_sol - «плохое» решение системыAx=b. (решение, полученное вычислительной машиной).

Найденное решение оценивается с помощью двух мер погрешности: вектора ошибки e = x–x_sol, где x - точное решение

и вектора невязки ε = b–A·x_sol ≠ 0. Но в большинстве случает точное решениеx неизвестно. В этом случае остается вектор невязки.

После введения вектора невязки решим систему A·d =εи уточним решениеx_sol⁽¹⁾= x_sol + d.

Проверим, что x_sol⁽¹⁾ решение системы

A x_sol⁽¹⁾ = A(x_sol + d)= A·x_sol + A·d = b – ε + ε = b

Если новый вектор невязки ε₁=b–A·x_sol⁽¹⁾≠ 0, то, решив системуA·d₂= 0, снова уточним решениеx_sol⁽²⁾= x_sol⁽¹⁾+d₂

Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью.

В нашем примере найденное решение

Вектор невязки

свидетельствует о плохом решении.

Решим систему A·d =εи уточним решениеx_sol⁽¹⁾= x_sol + d.

, или.

Согласно методу Гаусса из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 10000:

. Все результаты округляются до трех значащих цифр.

Обратным ходом получаем d₂=  – 0.000100 иd₁= 1.00, то есть

Отсюда уточненное решение .

Результат округляется до трех значащих цифр.

Нам понадобилась одна итерация для решения примера.

3. Число обусловленности матрицы

Рассмотрим еще две системы с одной матрицей и очень близкими правыми частями:

Решением первой системы является ,, а решением второй -,.

Изменение пятой значащей цифры во второй компоненте вектор-столбцасвободных членовпривело к изменению первой значащей цифры в компонентах решения системы, и не существует численного метода, который мог бы устранить эту чувствительность к малым возмущениям.Матрицы с такими свойствами называются плохо обусловленными (Л.1 стр. 103).

Найдем вектор невязки первой системы. Если за взять решение второй системы.

1.00*0.00 + 1.000100*2.00 = 2.000200 ≈ 2.00 Результат округляется до трех значащих цифр.

Значения вектора невязки малы.

Однако в случае малых значений невязок

не следует, что вектор ошибки также мал.

Вектор невязки связан с вектором ошибки посредством числа обусловленности cond(A) матрицы.

Обусловленность - это внутреннее свойство матрицы, которое не связано с методом решения. Число обусловленности матрицы Aпозволяет определить, насколько чувствительно решение СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений) к изменениям вAиb. Значения элементов матрицыAиbв большинстве случаев задаются приближенно, так как являются результатами экспериментов или получены после округления при вычислении с помощью аналитических зависимостей. В зависимости от значения числа обусловленности различают хорошо и плохо обусловленные матрицы. При хорошо обусловленных задачах малые значения невязок приводят к малой ошибке.

Число обусловленности двух систем с одной матрицей

>> A=[1 1;1 1.0001]

A =

1.0000 1.0000

1.0000 1.0001

>> cond(A)

ans =

4.0002e+004

>> rcond(A)

ans =

2.4998e-005

% число близко к нулю – матрица плохо обусловлена