7. Об ошибках округления.

Метод исключения Гаусса – алгоритм, который обманчиво прост.

Перечислим несколько аспектов, которые несколько глубже, чем простая техника исключения.

а) Интерпретация метода исключения как разложения матрицы коэффициентов Aв произведение нижнейLи верхнейUтреугольных матриц.

б) Умение оценивать количество арифметических действий, требуемых для решения системы методом исключения. Во многих практических задачах приходится балансировать между необходимой точностью математической модели и общим объемом вычислительной работы. Поэтому вопрос о числе вводимых неизвестных решается именно подсчетом числа арифметических действий. (для ниже рассматриваемой системы число таких действий равно n³/3, метод Гаусса не самый быстрый метод, существует метод с количеством арифметических действий)

в) Необходимо знать, каким образом решение xвосприимчиво к ошибкам округления. Для некоторых задач решение оказывается восприимчивым, для других нет. Если причина восприимчивости понятна, то легко догадаться, каким образом ее контролировать. Без такого контроля вычислительная машина может выполнить миллионы операций, округляя каждый результат до фиксированного числа, а полученное решение окажется абсолютно бесполезным.

1. Влияние малых ведущих элементов на метод Гаусса.

Как было сказано выше в методе Гаусса ведущие элементы каждого шага должны быть отличны от нуля. Однако этого мало – их близость к нулю может оказаться причиной значительных отличий найденного приближенного решения от точного.

Рассмотрим систему .

Решим ее с округлением, используя лишь три десятичные цифры на каждом шаге. Это означает, что оставляются только три старшие значащие десятичные цифры любого результата арифметических операций.

Округление к ближайшему целому (англ.rounding) — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого, модуль разности с которым у этого числа минимален.

В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до N-ого знака, правило может быть сформулировано следующим образом:

если N+1 знак < 5, то N-ый знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;

если N+1 знак ≥ 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

Например: при N = 3

9983≈9980 9988≈9990 9999≈10000

Максимальная дополнительная абсолютная погрешность, вносимая при таком округлении (погрешность округления), составляет ±0,5 последнего сохраняемого разряда.

Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 10000

1 – 10000 = – 9999≈ – 10000.Все результаты округляются до трех значащих цифр.

2 – 10000 =-9998≈ – 10000.Все результаты округляются до трех значащих цифр.

Теперь обратным ходом получим ,

,

То есть имеет место вычислительная катастрофа, поскольку точным решением системы является

Переставим уравнения системы, т.е. выполним процедуру выбора ведущего элемента.

Решим систему методом Гаусса в тех же предположениях о точности системы.

Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на 0.000100 

1 – 0.000100 = 0.9999≈ 1.0000, 1 – 0.000200 = 0.9998 ≈ 1.

,

обратным ходом получим решение .

Вывод из данного примера таков:

недостаточно избегать только нулевых ведущих элементов, необходимо также избегать относительно малых ведущих элементов.

Но и это ещё не всё.