4. LUразложение без перестановки строк.

Рассмотрим модифицированный метод Гаусса - Жордана, основанный на преобразованиях вида (1) и (2), то есть без перестановки местами строк.

Будем преобразовывать квадратную матрицу размера ,к верхнему ступенчатому виду.

Параллельно введем две нижние треугольные матрицы и, у которых все числа на диагонали равны 1, над главной диагональю нулю, а числа под диагональю мы будем заполнять постепенно.

Пусть коэффициент a₁₁, называемыйведущим элементом первого шага, не равен нулю. Исключим первый элемент из каждой строки матрицыA, начиная со второй, путем вычитания изi-ой строки первой, умноженной на коэффициент, гдеi = 2,3,…,n. А эти коэффициенты мы разместим в первом столбце матрицыL.

Получим матрицу

,

в матрицах MиLзаполним первый столбец, на месте оставшихся символов «*» поставим нули. Матрицы обозначим

Заметим, что U⁽¹⁾ = M₁ * A,A = L₁ * U⁽¹⁾.

Пусть теперь коэффициент , называемый ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Исключим второй элемент из каждой строки, начиная с третьей, путем вычитания изi-ой строки второй, умноженной на коэффициент, гдеi = 3,4,…,n. А эти коэффициенты мы разместим во втором столбце матрицMиL, получим:

,

,

причем L₁₂=L₁*L₂.

Новую матрицу системы обозначим U ⁽²⁾.

Заметим, что U ⁽²⁾  =M₂*M₁* A.

U⁽¹⁾  =L₂ * U ⁽²⁾ , значит A = L₁ * U⁽¹⁾ = L₁*L₂* U ⁽²⁾ = L₁₂* U ⁽²⁾ 

В итоге на (n – 1)-ом шаге в результате «прямого хода» мы получим ступенчатую матрицу

Теперь матрицы M_n-1, M_n-2, _…M_2, M₁иL= L₁· L₂·_…· L_n-2 · L_n-1 полностью заполнены соответствующими коэффициентами.

(M_n-1· M_n-2, ·_…·M₂· M₁)^(-1) = L

Обозначим преобразованную матрицу черезU, тогдаU = M_n-1· M_n-2, ·_…·M₂· M₁· AиA = L·U.

Матрица вида Uс нижним левым углом нулей называется верхней треугольной матрицей. Матрица видаLс верхним правым углом нулей – нижней треугольной матрицей.

Разложение матрицы Aв произведение верхней треугольной и нижней треугольной матриц называетсяLU («эл-у») разложением матрицы A.

Данный метод имеет продолжение: в некоторых случаях матрицу Uможно представить в виде произведения диагональной матрицыD и транспонированной матрицыL^T. Тогда получимA = L D  L^T

Утверждения(см.Л.5, стр. 176)

1. Пусть A- квадратная матрица порядкаnи все главные миноры матрицыAотличны от нуля. Тогда существуют единственная нижняя треугольная матрицаL=(l_ij), гдеl_ii =1 для всехi,j=1,2,…,n(т.е. с единицами на главной диагонали) и единственная верхняя треугольная матрицаU=(u_ij), такие чтоA=LUи.

2. В тех же предположениях можно доказать единственность разложения матрицы Aв произведение, гдеL– нижняя,S- верхняя треугольные матрицы с единицами на главной диагонали, аD– диагональная матрица.

3. Если A- симметричная матрица, то изследует, что

Главными минорами матрицы называются определители вида:,,,, составленные согласно рисунку.

Упражнение 8.

Разложить в тетради матрицы ивLU иL D L^Tпроизведения. Если это невозможно, выяснить почему. Проверить решения вMATLAB.

5. Метод исключения Гаусса и lu- разложение.

Рассмотрим теперь систему nлинейных уравнений сnнеизвестными:

- матрица системы,

- столбец неизвестных, - столбец свободных членов.

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде .

- расширенная матрица системы.

Введем матрицу нижнюю треугольную матрицу, у которой все числа на диагонали равны 1, над главной диагональю - 0, а числа под диагональю мы будем заполнять постепенно.

Пусть коэффициент a₁₁, называемый ведущим элементом первого шага, не равен нулю. Исключим неизвестноеx₁каждого уравнения системы, начиная со второго, путем вычитания изi-го уравнения системы первого уравнения, умноженного на коэффициент, гдеi = 2,3,…,n. А эти коэффициенты мы разместим в первом столбце матрицыL

Получим систему

,

с матрицей

,

и с соответствующей ей расширенной матрицей

в матрице Lзаполним первый столбец, на месте оставшихся символов «*» поставим нули и обозначим такую матрицуL₁

матрицы обозначим

Заметим, что матрица A = L₁ * A₁, а столбец свободных членов пересчитывается такжеb = L₁ * b₁, то есть и расширенная матрица системыAA = L₁ * AA₁

Пусть теперь коэффициент , называемый ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Исключим неизвестноеx₂из каждого уравнения системы, начиная с третьего, путем вычитания изi-го уравнения системы второго уравнения, умноженного на коэффициент, гдеi = 3,4,…,n. А эти коэффициенты мы разместим во втором столбце матрицыL. Составим изLматрицы вида

,

причем L₁₂=L₁*L₂.

Матрица системы A₂такая, чтоA  = L₁₂ * A₂, а столбец свободных членов пересчитывается такжеb₁ = L₂ * b₂,b= L₁ * b₁= L₁ * L₂ * b₂ =L₁₂ * b.то есть и расширенная матрица системыAA = L₂₁ * AA₂

В итоге на (n—1)-ом шаге в результате «прямого хода» мы получим треугольную систему эквивалентную исходной.

С матрицей системы

.

Обозначим преобразованную матрицу черезU, тогдаA = LU, гдеL= L₁· L₂·_…· L_n-2 · L_n-1 .

В результате «прямого хода» метода Гаусса без перестановки строк автоматически получаем  LU– разложение основной матрицы системы.

Тогда решение системы , т.е. системы видасведется к решению двух простых системи:

Таким образом, при решении системы линейных уравнений не надо искать обратные матрицы, нужно лишь найти корни двух треугольных систем и, используя лишь обратный ход метода Гаусса.

Стратегия выбора ведущего элемента в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента заключается в том, что на каждом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента берется наибольший по абсолютной величине элемент в неприведенной части столбца. При этом в расширенной матрице системы переставляются строки.

Стратегия-(1) частичного выбора ведущего элемента является частным случаем стратегии-(2) полного выбора ведущего элемента. Стратегии-(2) заключается в том, что на каждом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента берется наибольший по абсолютной величине элемент в неприведенной части матрицы. Стратегии-(2) надежнее, но «дороже», см Л.1 стр 103 и Л.5 стр. 173. Матричной реализацией стратегии-(1) являетсяLU– разложение.