3. Матрицы элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы в матричных исследованиях просты и удобны. Однако словесное описание выполняемых преобразований весьма утомительно. Этого можно избежать, если ввести некоторые матрицы специального вида.

Каждому элементарному преобразованию строк (столбцов) матрицы соответствует умножение ее на некоторое другие специальные матрицы слева или справа. Такие матрицы называются матрицами элементарных преобразований.

1. Квадратная матрица размера, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали равны 0, на главной диагонали равны 1, кроме элемента, стоящего вi-ой строке на главной диагонали. Наi-ой строке стоит число отличное от нуля.Эта матрица равносильна элементарному преобразованию (1) - умножению строки на число отличное от нуля.

Упражнение 4

Создайте матрицы ,и произвольную квадратную матрицуAтретьего порядка. Найдите произведенияи. Сравните матрицыи,и.

2. Квадратная матрица размера, вида

,

где все диагональные элементы равны 1, а все внедиагональные, кроме указанного ранвы 0. При умножении ее на матрицу A, мы получим матрицу, у которой кj-ой строке прибавилиi-ую, умноженную на число.

Эта матрица равносильна элементарному преобразованию (2) - прибавление одной строки, умноженной на число, к другой строке

Упражнение 5.

Создайте матрицу. Найдите произведение, сравните результат с матрицейA.

Создайте матрицу . Найдите произведение, сравните результат с матрицейA.

Найдите связь между M1 иL1, проверьте, что матрицы взаимно обратные.

Найдите транспонированную к матрицу. Найдите произведение, сравните результат с матрицейA.

Найдите транспонированную к матрицу. Найдите произведение, сравните результат с матрицейA.

Упражнение 6.

Сгенерируйте случайную квадратную матрицу Aпорядка 5 . Сформируйте единичную матрицуEтого же размера, что иA(функцияeye). Создайте вспомогательные единичные матрицыM21=E,M31=E.

Создайте матрицу M21, заменив в матрицеEэлементE(2,1) на число –A(2,1)/A(1,1). Найдите произведениеU21=M21*Aи сравните матрицыAиU21.

Создайте матрицу M31, заменив в матрицеEэлементE(3,1) на число –A(3,1)/A(1,1). Найдите произведениеU31=M31*Aи сравните матрицыAиU31.

Найдите обратные матрицы L21=inv(M21) иL31=inv(M31). Сравните матрицыM21 иL21. Что изменилось? Сравните матрицыM31 иL31. Что изменилось?

Найдите произведения A_1=L21*U21 иA_2=L31*U31. Сравните матрицыA,A_1 иA_2 Что изменилось?

3. Пусть P- квадратная матрица размера, в каждой строке и каждом столбце которой ровно один элемент равен 1, а все остальные равны 0. ПустьP- матрица перестановок, аA- произвольная квадратная матрицаn-го порядка. Тогда () - матрица, строки которой получены перестановкой строк матрицыA, а- матрица, столбцы которой получены перестановкой столбцов матрицыA.

Такая матрица называется матрицей перестановок. (Л.5, стр. 25)Она соответствует (3) виду элементарных преобразований - перестановка местами двух строк.

Упражнение 7.

Сгенерируйте случайную квадратную матрицу Aпорядка 5 . Сформируйте единичную матрицуEтого же размера, что иA(функцияeye). Создайте вспомогательные единичные матрицыP3214=E,P1324=E.

Сформируйте матрицу P3214, поменяв в матрицеEпервую и третью строки, найдитеU13=P3214*AиU_13=A*P3214. Сравните матрицыA,U13 иU_13. Что изменилось?

Сформируйте матрицу P1324, поменяв в матрицеEвторой и третий столбцы, найдитеA23=P23*AиA_23=A*P23. Сравните матрицыA,U23 иU_23. Что изменилось?

Есть ли разница между перестановкой строк и столбцов у единичной матрицы?

Какие строки переставит композиция P????=P3214*P1324. Как это согласуется с понятием перестановок и подстановок см.http://pskgu.ru/ebooks/kag2/kag2_gl01_03.pdf, стр. 33..