2. Обратная матрица

Обратная матрица - такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрицаA даёт в результате единичную матрицуE:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю.

Есть два метода нахождения обратной матрицы:

1. С помощью нахождения определителя и алгебраических дополнений см.Л.3

2. С помощью элементарных преобразований строк (метод Гаусса - Жордана):

Рассматриваются одновременно две матрицы ,E- единичная (на главной диагонали стоят единицы, на остальных местах - нули) матрица того же размера, что иA. Элементарными преобразованиями строк приводят матрицуAк единичному виду, тогда то, что окажется на месте матрицыE и будет обратной матрицей:

преобразованием строк приводим к

В MATLABдля нахождения обратной матрицы используется командаinv(A), в основе которой лежит метод Гаусса - Жордана. Это оправдано тем, что первый метод «дороже». Потребуется вычислитьn²определителей (n – 1)-го порядка и один определительn-го порядка, (см в Л.5. стр. 139). Есть еще причины, но о них будет сказано ниже.

Упражнение 2.

Создать м-файл, позволяющий элементарными преобразованиями находить обратную матрицу для матриц произвольной размерности.В тетради и с помощью данной программы найти обратные матрицы для матриц:

, ,.

Выполнить проверку ()

2. Метод Гаусса

Рассмотрим теперь систему nлинейных уравнений сnнеизвестными:

- матрица системы,

- столбец неизвестных, - столбец свободных членов.

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде .

- расширенная матрица системы.

Пусть коэффициент a₁₁, называемый ведущим элементом первого шага, не равен нулю. Исключим неизвестноеx₁каждого уравнения системы, начиная со второго, путем вычитания изi-го уравнения системы первого уравнения, умноженного на коэффициент, гдеi = 2,3,…,n.

Получим систему

,

с матрицей

,

и с соответствующей ей расширенной матрицей

Пусть теперь коэффициент , называемый ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Исключим неизвестноеx₂из каждого уравнения системы, начиная с третьего, путем вычитания изi-го уравнения системы второго уравнения, умноженного на коэффициент, гдеi = 3,4,…,n.

В итоге на (n –1)-ом шаге в результате «прямого хода» мы получим треугольную систему эквивалентную исходной.

«Обратным ходом» выразим значения неизвестных системы, начиная с последнего

, ,…

Понятно, что ведущие элементы каждого шага должны быть отличны от нуля. Однако этого мало - их близость к нулю может оказаться причиной значительных отличий найденного приближенного решения от точного, см. пп. 7.1

Упражнение 3. Решение слау методом Гаусса.

Написать М-функцию, решающую системы уравнений методом Гаусса с произвольным числом неизвестных,осуществляющую «прямой» и «обратный» ход. Входящими данными являются матрица системы и столбец свободных членов. Решить системы:

; ;;.

Проверить решение подстановкой.

Указание к упр.4: подумайте, как наилучшим образом использовать следующие действия над матрицами:

A=[]; b=[];

AA=[A,b]; % описать действие команды

B=AA;

% прямой ход метода Гаусса

% первый шаг k=2,3,…n

B(k,:)=(- B(k,1)/B(1,1)) B(1,:)+B(k,:); % описать действие команды

% второй шаг k=3,4,…n

B(k,:)=(- B(k,2)/B(2,2))*B(2,:)+B(k,:); % описать действие команды

% и так далее

% (n-1)-ый шаг k=n

B(n,:)=(-B(n,n-1)/B(n-1,n-1))*B(2,:)+B(n,:); % описать действие команды

B

A1=B(:,1:n), b1=B(:,n+1)

% проверка [A1,b1] равно B

isequal(B , [A1,b1])

%обратный ход метода Гаусса для правой части b

b1=B(:,n+1); x=zeros(n,1);

x(n)=b1(n)/A1(n,n); % описать действие команды

x(n-1)=(b1(n-1)-A1(n-1,n)*x(n))/U(n-1,n-1); % описать действие команды

итд;

x(1)=(b1(1)-A1(1,n)*x(n)-A1(1,n-1)*x(n-1)-…-A1(1,2)*x(2))/A1(1,1);

x

isequal(b,A*x) % описать действие команды

• Если не получится написать м-функцию для систем произвольного порядка, напишите четыре м-функции для систем 2-го, 3-го, 4-го порядков.