Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.

Модуль 2. Линейная алгебра.

Цель модуля.С помощью встроенных команд (библиотечных функций)MATLABи самостоятельно создаваемых алгоритмов (М-файлов, М-функций) освоить фундаментальные понятия линейной алгебры: точные и приближенные методы решений систем линейных алгебраических уравнений первого порядка; линейное пространство, линейные операторы, квадратичные формы, критерий Сильвестра. Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка.

Лабораторный практикум 2.1. Точные и численные решения систем линейных алгебраических уравнений.

Цель работы. С помощью средств системыMATLABосвоить метод исключения Гаусса,LU- разложение и метод простой итерации решения СЛАУ.

Продолжительность работы. 3 академических часа в аудитории и 4 часа на самостоятельную работу (2 недели)

Срок сдачи:13 неделя.

Оборудование, приборы, инструментарий.Письменная часть работы выполняется в тетради, электронная часть работы выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения.

1. Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

2. Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.

3. При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.

4. Дома доделать упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы (см. ниже).

5. Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:

• № упражнения;

• текст упражнения;

• команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним

• результаты их выполнения, включая построенные графики;

• выводы и комментарии к полученным результатам.

*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается.

**При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.

1. Матрицы.

В первом лабораторном практикуме мы познакомились с понятием матрицы и основными операциями над ними:

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Если у матрицы количество строк mсовпадает с количеством столбцовn, то такая матрица называется квадратной, а числоm=nназывается размером квадратной матрицы или её порядком.

Операции над матрицами

1.Умножение матрицы на число. 2. Сложение матриц 3. Комплексное сопряжение 4. Транспонирование матрицы

5. Эрмитово сопряжение 6. Умножение матриц 7. Существование единичной матрицы 8. Существование нулевой матрицы.

Коснемся новых понятий: обратная матрица и элементарные преобразования строк матрицы.

1. Элементарные преобразования над матрицами

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1) Умножение строки на число отличное от нуля,

2) Прибавление одной строки, умноженной на число, к другой строке,

3) Перестановка местами двух строк.

Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Элементарными преобразованиями всех трех типов строк невырожденную матрицу Aможно привезти к верхнему треугольному виду, а также к единичному виду. И такой метод называется методом Гаусса - Жордана.

Упражнение 1

Подумайте, как наилучшим образом выполнить следующие действия над матрицами:

перестановку строк: например, можно поменять местами m-ю иn-ю строки матрицыAследующей последовательностью команд:B=A;A(n, :)=B(m, :),A(m, :)=B(n, :);

умножение n-й строки на числоb, например,b*A(n, :);

сложение k-й строки, умноженной на числоc, со строкойmи размещение в ней результата, например,A(m, :)=c*A(k, :)+A(m, :).

Сгенерируйте случайную квадратную матрицу Aпорядка 5 (см.helprand) и выполните перечисленные выше команды.