Упражнение 7.

Сгенерируйте случайную квадратную матрицу Aпорядка 5. Сформируйте единичную матрицуEтого же размера, что иA(функцияeye). Создайте вспомогательные единичные матрицыP3214=E,P1324=E.

Сформируйте матрицу P3214, поменяв в матрицеEпервую и третью строки, найдитеU13=P3214*AиU_13=A*P3214. Сравните матрицыA,U13 иU_13. Что изменилось?

Сформируйте матрицу P1324, поменяв в матрицеEвторой и третий столбцы, найдитеA23=P23*AиA_23=A*P23. Сравните матрицыA,U23 иU_23. Что изменилось?

Есть ли разница между перестановкой строк и столбцов у единичной матрицы?

Какие строки переставит композиция P???? =P3214*P1324. Как это согласуется с понятием перестановок и подстановок см.http://pskgu.ru/ebooks/kag2/kag2-gl01-03.pdf, стр. 33.

>> A = rand(5, 5);

>> E = eye(5);

>> P3214 = E; P1324 = E;

>> P3214(1, :) = E(3, :);

>> P3214(3, :) = E(1, :);

>> U13 = P3214*A;

>> U_13 = A*P3214;

>> A, U13, U_13

A =

0.7577 0.7060 0.8235 0.4387 0.4898

0.7431 0.0318 0.6948 0.3816 0.4456

0.3922 0.2769 0.3171 0.7655 0.6463

0.6555 0.0462 0.9502 0.7952 0.7094

0.1712 0.0971 0.0344 0.1869 0.7547

U13 =

0.3922 0.2769 0.3171 0.7655 0.6463

0.7431 0.0318 0.6948 0.3816 0.4456

0.7577 0.7060 0.8235 0.4387 0.4898

0.6555 0.0462 0.9502 0.7952 0.7094

0.1712 0.0971 0.0344 0.1869 0.7547

U_13 =

0.8235 0.7060 0.7577 0.4387 0.4898

0.6948 0.0318 0.7431 0.3816 0.4456

0.3171 0.2769 0.3922 0.7655 0.6463

0.9502 0.0462 0.6555 0.7952 0.7094

0.0344 0.0971 0.1712 0.1869 0.7547

>> P1324(2, :) = E(3, :);

>> P1324(3, :) = E(2, :);

>> U23 = P1324*A;

>> U_23 = A*P1324;

>> A, U23, U_23

A =

0.7577 0.7060 0.8235 0.4387 0.4898

0.7431 0.0318 0.6948 0.3816 0.4456

0.3922 0.2769 0.3171 0.7655 0.6463

0.6555 0.0462 0.9502 0.7952 0.7094

0.1712 0.0971 0.0344 0.1869 0.7547

U23 =

0.7577 0.7060 0.8235 0.4387 0.4898

0.3922 0.2769 0.3171 0.7655 0.6463

0.7431 0.0318 0.6948 0.3816 0.4456

0.6555 0.0462 0.9502 0.7952 0.7094

0.1712 0.0971 0.0344 0.1869 0.7547

U_23 =

0.7577 0.8235 0.7060 0.4387 0.4898

0.7431 0.6948 0.0318 0.3816 0.4456

0.3922 0.3171 0.2769 0.7655 0.6463

0.6555 0.9502 0.0462 0.7952 0.7094

0.1712 0.0344 0.0971 0.1869 0.7547

Упражнение 8.

Разложить в тетради матрицы ивLU иL D L^Tпроизведения. Если это невозможно, выяснить почему. Проверить решения вMATLAB.

Упражнение 9.

Введите матрицы ,и.

1. Методом Гаусса решите систему и одновременно получитеLU– разложение матрицыA. Проверьте, что найденный вектор-столбецдействительно является решением. Для этого найдите разность ε =b–A·x. 

2. Решите систему , используя найденноеLU– разложение матрицыA. Для этого решите две системыи. Процедурой обращения матриц (inv) пользоваться нельзя

3. Решите систему методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Найдите такую перестановочную матрицуP, чтобы при решении системыметодом Гаусса в прямом ходе появилась верхняя треугольная матрица, то есть надо проверить, чтоимеет- разложение:.

4. Найдите LU- разложение матрицыAс помощью командыMATLAB: [l,u] =lu(A). Сравните с полученными результатами, т.е. найдитеA1=l*uи сравните сA. Если матрицы окажутся разными, то воспользуйтесь командой [l,u,p] =lu(A). Для справки используйтеhelplu.

Ответьте на вопрос: как из матрицы A1 получить матрицуA?

>> A = [2, 1, 1, 3; 4, 1, 3, 2; 6, 2, 5, -5; -6, -2, -3, 10];

>> b = [7; 10; 8; -1];

>> b1 = [1; 1; 3; -1];

>> x = inv(A)*b

x =

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

>> epsilon = b-A*x

epsilon =

0

0

0

0

>> [l, u] = lu(A);

>> A1 = l*u

A1 =

2.0000 1.0000 1.0000 3.0000

4.0000 1.0000 3.0000 2.0000

6.0000 2.0000 5.0000 -5.0000

-6.0000 -2.0000 -3.0000 10.0000

>> A, A1

A =

2 1 1 3

4 1 3 2

6 2 5 -5

-6 -2 -3 10

A1 =

2.0000 1.0000 1.0000 3.0000

4.0000 1.0000 3.0000 2.0000

6.0000 2.0000 5.0000 -5.0000

-6.0000 -2.0000 -3.0000 10.0000

>> [l, u, p] = lu(A);

>> A, p*l*u

A =

2 1 1 3

4 1 3 2

6 2 5 -5

-6 -2 -3 10

ans =

-6.0000 -2.0000 -3.0000 10.0000

6.0000 2.0000 5.0000 -5.0000

4.0000 1.0000 3.0000 2.0000

2.0000 1.0000 1.0000 3.0000