Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.

Модуль 2. Линейная алгебра.

Цель модуля.С помощью встроенных команд (библиотечных функций)MATLABи самостоятельно создаваемых алгоритмов (М-файлов, М-функций) освоить фундаментальные понятия линейной алгебры: точные и приближенные методы решений систем линейных алгебраических уравнений первого порядка; линейное пространство, линейные операторы, квадратичные формы, критерий Сильвестра. Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка.

1. Лабораторный практикум 2.3. Квадратичные формы.

Цель работы.Научиться создавать алгоритмы в средеMATLABдля наилучшего понимания и демонстрации сути понятия квадратичных форм и области ее применения. Освоить понятия: квадратичные формы, критерий Сильвестра, приведение квадратичной формы к каноническому виду, применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка.

Продолжительность работы. 4 академических часа в аудитории и 4 часа на самостоятельную работу (2 недели)

Срок сдачи: 15 неделя.

Оборудование, приборы, инструментарий:письменная часть работы выполняется в тетради, электронная часть работы выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения.

1. Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.

2. Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.

3. При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.

4. Дома доделать упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы (см. ниже).

5. Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:

• № упражнения;

• текст упражнения;

• команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним

• результаты их выполнения, включая построенные графики;

• выводы и комментарии к полученным результатам.

*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается.

**При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.

2. Билинейные и квадратичные формы

   1. Билинейные формы

Определение: В действительном линейном пространстве задана линейная форма, если каждому вектору поставлено в соответствие число , причем выполнены условия

Определение: Числовая функция , заданная на действительном линейном пространстве , называется билинейной формой, если при фиксированном y она является линейной формой по x, а при фиксированном x – линейной формой по y.

Билинейная форма называется симметрической, если .

2. Квадратичные формы

Определение: Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма вида

, (1)

то есть

. (2)

Матрица , называется матрицей квадратичной формы (1), а ее ранг – рангом формы (1). Если ранг формы равен n, форма называется невырожденной (в этом случае ранг матрицы A равен n и матрица A невырожденная).

Матрица A квадратичной формы – симметрическая.

Из формулы (2) видно, что квадратичная форма является однородным многочленом 2-й степени от переменных Кроме того, квадратичную форму можно считать функцией от вектора:

В матричном виде квадратичную форму записывают:

При работе в MATLAB это нам пригодится.

Так как квадратичная форма – это функция от вектора, то ее вид зависит от базиса линейного пространства, и при изменении базиса матрица квадратичной формы также изменяется. Закон изменения матрицы дает следующая теорема.

Теорема:Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей Aпосле выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей A'

Определение: Каноническим видом квадратичной формыназывают такой её вид (в некотором базисе), который представляет собой сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами:

Теорема: (Основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием переменных к каноническому виду.