Упражнение 3.

Найти собственные векторы линейного оператора A, заданного в некотором базисе матрицей:, с помощью командыeig(A) можно найти собственные значения. Создайте матрицы видаV=[bA(b)] состоящие из собственного вектора и его образа.

Постройте графики

plot(V','*-','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','k',...

'MarkerFaceColor','g',...

'MarkerSize',6)

иллюстрирующие векторы и их отображения, как на рис. 6

3. Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

Пусть - линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением.

Определение:Линейный операторназываетсясопряженнымк оператору, если для любых векторов,выполняется равенство.

Определение:Линейный операторHв пространстве со скалярным произведением называетсясамосопряженным, если. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется так жеэрмитовым (симметричным).

Для того чтобы оператор был эрмитовым (симметричным),необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица удовлетворяла соотношению. Такие матрицы называютсяэрмитовыми (симметричными).

Определение:Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называетсяунитарным (ортогональным),если, т.е..

Для того чтобы оператор был унитарным (ортогональным)необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица удовлетворяла соотношению. Такие матрицы называютсяунитарными (ортогональными).

Линейный оператор тогда и только тогда задается в базисе диагональной матрицей, если все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора.

Это следует из равенств:

, i = 1, 2, … , n

Известно, что собственные векторы линейного преобразования, относящиеся к различным собственным векторам, составляют линейно независимую систему.

Следствие:Всякая матрица,всехарактеристические корни которой действительные и различны, подобна диагональной матрице, т.е.приводится к диагональной форме. Это значит, что в базисе, составленном из собственных векторов, матрица линейного преобразования имеет диагональную форму.

Пример 2 (часть 2)Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в некотором базисе матрицей:. Построить базис, составленный из собственных векторов и матрицу линейного преобразования в этом базисе.

Решение:Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму:

1) половину задачи мы сделали выше. Нашли, что

собственные значения: λ1 = -1, λ2 = 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ1 = -1 имеет значение b1 = (1, -1), для λ2 = 6 значение b2 = (0.4, 1).

2) строим базис из собственных найденных векторов .

3) составляем диагональную матрицу линейного заданного преобразования в базисе :

Векторы b1 иb2 неколлинеарные, значит, могут быть векторами базиса.

A (b1) = — 1·b1= — 1·b1 + 0·b2; A (b2) = 6·b2= 0·b1 + 6·b2. Матрица линейного операторав новом базисе.

Итак, матрица линейного оператора A в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, причем на главной диагонали стоят собственные значения оператора.

На рисунке показано воздействие оператора на собственные векторы, как на векторы базиса и результат отображений в новом базисе {b1,b2}, где b1 = {1, -1}, b2 = {0.4, 1}.

Рис. 7.

Ответ:собственные значения: λ₁= -1, λ₂= 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ₁= -1 имеет значениеb₁= (1, -1), для λ₂= 6 значениеb₂= (0.4, 1); диагональная форма матрицы линейного преобразования в базисеимеет простейший вид: .