Упражнение. 1

Установить какие из заданных линейных операторов являются линейными, то есть проверить выполнение условий ,. Сделать иллюстрации. Для линейных операторов составить матрицу линейного отображения.

1)

2)

3)

2. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристическая матрица и характеристический многочлен.

Пусть в пространстве V_nзадан линейный операторA.

Если вектор xотличен от нуляи:

A x = λ x,

где λ- действительное число. Тогда вектор xназываютсобственным векторомоператораA, а число λ -собственным значениемэтого преобразования.

Теорема:Действительные характеристические корни линейного оператораA, если они существуют, и только они, служат собственными значениями этого преобразования.

Для нахождения собственных векторов удобно пользоваться формой записи векторов матрица-столбец. Можно записать Аx = λx → Аx - λx = 0 → Аx - λEx = 0 → (А – λE)x = 0 .

Последнее означает, что совокупность ненулевых решений системы линейных уравнений:

,

совпадают с совокупностью собственных векторов линейного оператора A.

Определение: Матрица называетсяхарактеристической матрицейматрицыАи записывается в виде:

,

где А– квадратная матрица порядкаnс действительными элементами и число λ– некоторое неизвестное число.

Определение: Определитель - многочлен от λ степениnназываютхарактеристическим, а его корни –характеристическими корнями(могут быть как действительными, так и комплексными).

Как мы увидим ниже, собственные векторы образуют базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид.

Пример 2 ( часть 1) Собственные векторы линейного преобразования

Найти собственные векторы линейного преобразования A заданного в некотором базисе матрицей: .

Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму

1) находим корни характеристического многочлена:

,

т.е. корни многочлена: λ1 = -1, λ2 = 6.

2) находим собственные векторы линейного преобразования:

а) собственный вектор b1 для собственного числа λ1 = -1:

x1 + x2= 0.

Пусть x1 = 1, тогда x2 = -1, следует: b1 = (1, -1).

б) собственный вектор b2 для собственного числа λ2 = 6:

-5x1 + 2x2= 0.

Пусть x2 = 1, тогда x1 = 0.4, следует: b2 = (0.4, 1).

Ответ: собственные значения: λ1 = -1, λ2 = 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ1 = -1 имеет значение b1 = (1, -1), для λ2 = 6 значение b2 = (0.4, 1).

Оператор eig(A) помогает найти собственные значения.

A =

1 2

5 4

>> [D]=eig(A)

D =

-1 0

0 6

% Собственные значения оператора стоят на главной диагонали

Ниже на рисунке показано воздействие оператора Aна векторы исходного базиса {e1,e2}, где e1={0,1}, e2={1,0}, и это дает матрицу.

Рис. 5

Можно привести такую иллюстрацию

Рис. 6

Слева мы видим воздействие оператора на первый собственный вектор с собственным числом (-1). Справа – воздействие оператора с собственным числом (6).

Упражнение 2.

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора A, заданного в некотором базисе матрицей:, создать алгоритм вMATLAB, соответствующий алгоритму решения задачи из примера 2. С помощью командeig(A) и isequal() осуществить проверку найденных собственных значений. Проиллюстрируйте задачу вMATLAB, как на рис. 5.