3

Решение задачи о путях в орграфе, размеченным над полукольцом

Пусть - орграф, на множестве дуг которого (множестве ) определена функция разметки , где - носитель какого-то полукольца . Тогда орграф будем называть орграфом, размеченным над полукольцом . Как правило, в дальнейшем это полукольцо считается замкнутым. Принимается также, что значение функции разметки на любой дуге графа не равно нулю полукольца.

Орграф , размеченный над полукольцом , может быть задан квадратной матрицей -ого (где ) порядка , где . Эта матрица называется матрицей весов дуг размеченного орграфа. Если полукольцо есть двухэлементное полукольцо , то матрица весов дуг есть не что иное, как матрица смежности вершин.

Определим понятие метки пути в размеченном орграфе. Пусть - путь конечной длины . Дугу этого пути обозначим через . Тогда если (т.е. есть путь нулевой длины), то метка этого пути равна, по определению, единице полукольца. Иначе, , т.е. метка пути ненулевой длины определяется как произведение меток входящих в этот путь дуг (в порядке их прохождения).

Для полукольца , в силу того, что метка каждой дуги тогда равна 1, метка любого пути (как нулевой, так и ненулевой длины) будет равна 1 (единице полкольца ). Для полукольца метка пути нулевой длины будет равна числу 0 (единице данного полукольца), а метка пути ненулевой длины вычисляется как (арифметическая) сумма меток дуг, которые фигурируют в этом пути.

Стоимость прохождения из вершины в вершину , обозначаемая (или просто ) есть, по определению, сумма меток всех путей (конечной длины), ведущих из вершины в вершину . Если множество всех путей из в конечно, то стоимость есть сумма в обычном смысле слова - сумма элементов полукольца . Если указанное множество бесконечно (но, так как рассматриваются только пути конечной длины, счетно - как бесконечное множество конечных последовательностей), то стоимость (для замкнутого полукольца ) есть точная верхняя грань множества меток всех путей из в .

Итак, в любом случае мы можем написать:

Для полукольца любая сумма равна 1 тогда и только тогда, когда хотя бы одно слагаемое равно 1. Следовательно, тогда и только тогда, когда существует хотя бы один путь из в , т.е. есть элемент матрицы достижимости.

Для полукольца стоимость есть

,

что составляет метку («длину») кратчайшего (в смысле наименьшей суммы меток дуг) пути из в .

Теорема. Матрица стоимостей размеченного орграфа равна итерации (замыканию) матрицы весов дуг:

(сумма матриц понимается как поэлементная, т.е. как конечная сумма элементов полукольца , над которым размечен орграф, или как точная верхняя грань бесконечной последовательности элементов этого полукольца).

Доказательству теоремы предпошлем обсуждение некоторых частных случаев.

Сама матрица есть матрица меток дуг, т.е. меток путей единичной длины. Ее нулевая степень равна единичной матрице, которая может рассматриваться как матрица меток по всем путям нулевой длины. Рассмотрим теперь квадрат матрицы . Имеем:

.

Элемент этой матрицы есть сумма . Каждое слагаемое в этой сумме есть либо метка некоторого пути длины 2, ведущего из в , либо нуль полукольца. Таким образом, поскольку здесь перебираются все пути длины 2 из в , то указанная сумма есть сумма меток всех путей из в , длина которых равна 2, и, таким образом, матрица есть матрица стоимостей по всем путям длины 2.

Используя метод математической индукции, можно показать, что -ая степень матрицы меток дуг, т.е. матрица есть матрица стоимостей по всем путям длины ().

Базис индукции уже доказан (мы рассмотрели случаи ). Пусть доказываемое справедливо для всех . Обозначая произвольный элемент матрицы через , получим

.

Каждое слагаемое этой суммы есть произведение стоимости прохождения из вершины в вершину по всем путям длины (это, по предположению индукции, элемент ) на элемент матрицы смежности вершин, который при условии будет равен метке указанной дуги, а если такой дуги нет, то нулю полукольца. Это значит, что -ое слагаемое написанной выше суммы (для фиксированного ) будет либо равно нулю, либо будет суммой меток всех путей длины из вершины в вершину , последней дугой которого будет дуга ^I.

Так как пробегает все вершины графа, то сумма, выражающая элемент будет ни чем иным, как суммой меток всех путей длины из вершины в вершину , т.е. стоимостью прохождения из вершины в вершину по всем путям длины .

Итак, сумма всех степеней матрицы меток дуг размеченного орграфа будет матрицей стоимостей.

I Более подробно: . При фиксированном k (k-ое слагаемое внешней суммы как внутренняя сумма) получаем либо стоимость прохождения из i-ой вершины в j-ую по всем путям длины l, которые кончаются дугой из k-ой вершины в в j-ую, либо (если такой дуги нет) – нуль полукольца. Через |W| обозначена длина пути W, т.е. число дуг в этом пути.