МП - 3 семестр / Diskretka / К р 3 / Решение

http://library.tuit.uz/knigiPDF/10.pdf

http://nashaucheba.ru/v46905/%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B2.%D0%BD._%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%8B_%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D1%8B_%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0%D1%85?page=4

http://www.intuit.ru/studies/courses/1033/241/lecture/6214?page=2

http://window.edu.ru/resource/659/44659/files/2001-0091-0-01.pdf

12(7)

Следствие 4.2.1. Число остовов в полном графе  равно . Доказательство. Утверждение очевидно для  и . Пусть . Имеем . Вычислив определитель -го порядка, получаем . 

13(8)

Теорема. Если граф G с однократными ребрами и без петель имеет n вершин и q связных компонент, то максимальное число в графе G равно:

.

Доказательство. Пусть в графе G компонента G_i имеет n_i вершин. Тогда максимальное число ребер равно:

.

Это число достигается, если каждая связная компонента есть полный граф с числом вершин n_i, n_i  1. Пусть есть хотя бы два подграфа G₁ и G₂, число вершин которых подчиняется следующему правилу: n₂  n₁ > 1. Построим вместо исходного графа G граф G' с тем же числом вершин и компонент, заменив подграфы G₁ и G₂ подграфами G₁' и G₂' с количеством вершин n₁-1 и n₂+1. При этом число ребер увеличится на следующую величину: n₂ - (n₁ - 1) = n₂ – n₁ +1  1. Следовательно, если из каждой компоненты переносить вершины всем, кроме одной (чтобы не менять число связных компонент), в какую-то одну компоненту, то число ребер будет увеличиваться. Следовательно, максимальное число ребер будет получено, когда каждая из q-1 компонент будет представлять собой изолированную вершину, и одна компонента – полный граф с n-q+1 вершиной, т.е. N(n,q) = ½(n-q+1)(n-q). Теорема доказана.

Следствие. Граф с n вершинами и с числом ребер, большим, чем

N(n,2) = ½(n-2)(n-1) связен.

11(7) 13(7)

СЛЕДСТВИЕ Количество циклов в фундаментальной системе равно числу хорд

остова: m(G) = q - р + 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО m(G) = q{T*) = q(G) - q(T) = q - (p - 1) = q - p + 1. •

12(8) 14(8) (ориентированный)

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат по правилам математики. Каждый элемент матрицы А² определяется по формуле

Слагаемое в формуле равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа a_ij и a_jk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенства a_ij = a_jk = 1 следует существование пути длины 2 из вершины x_i в вершину х_k , проходящего через вершинуx_j , то ( i -й, k -й) элемент матрицы А² равен числу путей длины 2, идущих из x_i в х_k .

На таблице 4.1a представлена матрица смежности графа, изображенного на рис. 4.2. Результат возведения матрицы смежности в квадрат А² показан на таблице 4.1б.

Таблица 4.1а. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 0 1 0 0 0 1 X2 0 0 0 0 1 1 A= X3 0 1 0 0 1 1 X4 0 0 1 0 0 0 X5 0 0 0 1 0 1 X6 0 0 0 0 0 0	Таблица 4.1б. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 0 0 0 0 1 1 X2 0 0 0 1 0 1 A2= X3 0 0 0 1 1 2 X4 0 1 0 0 1 1 X5 0 0 1 0 0 0 X6 0 0 0 0 0 0
Таблица 4.1в. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 0 0 0 1 0 1 X2 0 0 1 0 0 0 A3= X3 0 0 1 1 0 1 X4 0 0 0 1 1 2 X5 0 1 0 0 1 1 X6 0 0 0 0 0 0		Таблица 4.1г. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 0 0 1 0 0 0 X2 0 1 0 0 1 1 A4= X3 0 1 1 0 1 1 X4 0 0 1 1 0 1 X5 0 0 0 1 1 2 X6 0 0 0 0 0 0

Так "1", стоящая на пересечении второй строки и четвертого столбца, говорит о существовании одного пути длиной 2 из вершины х₂к вершине х₄ . Действительно, как видим в графе на рис. 4.2, существует такой путь: a₆, a₅ . "2" в матрице A2 говорит о существовании двух путей длиной 2 от вершины х₃ к вершине х₆ : a₈, a₄ и a₁₀, a₃ .

Аналогично для матрицы смежности, возведенной в третью степень A3 ( таблица 4.1в), a ⁽³⁾ _ik равно числу путей длиной 3, идущих от x_i к х_k . Из четвертой строки матрицы A3 видно, что пути длиной 3 существуют: один из х₄ в х₄(a₉, a₈, a₅), один из х₄ в х₅(a₉, a₁₀, a₆) и два пути из х₄ в х₆(a₉, a₁₀, a₃ и a₉, a₈, a₄). Матрица A₄ показывает существование путей длиной 4 ( таблица 4.1г).

Таким образом, если a ^р _ik является элементом матрицы A^р ,то a ^р _ik равно числу путей (не обязательно орцепей или простых орцепей) длины р, идущих от x_i к х_k .