Вопросы к экзамену
Неориентированный граф: определение, элементы, локальные характеристики. Диаграмма графа. Лемма о рукопожатиях. Изоморфные графы. Обыкновенные, полные, двудольные графы. Матрицы смежности и инцидентности неориентированного графа. Подграфы, виды подграфов. Операции над графами: пересечение, объединение, удаление вершины, удаление ребра. Дизъюнктное разбиение графа.
Пути, цепи и циклы на графе. Лемма о простой цепи. Отношение достижимости. Компоненты связности. Число связности графа.
Мосты и циклы графа. Теорема о мостах. Теорема о мостах и циклах.
Цикломатическое число графа. Теорема о знаке цикломатического числа.
Определение и основные свойства деревьев. Теорема о характеристических свойствах деревьев. Следствие их нее. Понятие о лесе.
Остовы графа. Число остовов обыкновенного графа. Отыскание числа остовов с помощью матрицы Кирхгофа.
Минимальный остов. Задача о построении минимального остова. Алгоритм Краскала (без доказательства).
Кодирование деревьев. Бинарный код и код из натуральных чисел (кодирование и декодирование).
Укладки графов в трехмерном пространстве и на плоскости. Планарные графы. Формула Эйлера для плоских графов. Теорема о плоских графах.
Доказательство непланарности графов
и
.
Критерии планарности (без доказательства).Обходы графов. Эйлеров цикл и эйлерова цепь на графе. Критерии существования эйлерового цикла и эйлеровой цепи на графе (теорема об эйлеровых циклах, теорема об эйлеровых цепях). Алгоритм построения эйлерового цикла и эйлеровой цепи на графе. Понятие о гамильтоновом цикле и гамильтоновой цепи.
Раскраска графов. Хроматическое число. Утверждения о хроматических числах графа. Критерий бихроматичности графа.
Фундаментальная система циклов: пространство циклов графа, базис пространства циклов. Алгоритм построения фундаментальной системы циклов.
Ориентированные графы: определение, элементы. Изоморфные орграфы. Матрицы смежности и инцидентности ориентированных графов. Ориентированные пути, цепи, циклы на орграфе. Связные и сильно связные орграфы. Ориентированные деревья.
Задача о поиске кратчайших путей в сети. Алгоритм Дейкстры.
Потоки в сетях. Постановка задачи о поиске максимального потока. Алгоритм Форда-Флакерсона. Его обоснование: три леммы и теорема Форда-Фалкерсона.
Схемы из функциональных элементов
.
Реализация булевых функций с помощью
схем из функциональных элементов.18-й вопрос для 1-го потока: Упорядоченные бинарные диаграммы решений (УБДР). Реализация булевых функций с помощью УБДР. 18-й вопрос для 2-го потока: Элементы теории автоматов: ограниченно-детерминированные функции, реализация ограниченно-детерминированных функций конечными автоматами.
P.S. Объем подготовки по каждому вопросу зависит от того, на каком уровне студент собирается сдавать экзамену: базовом (студент собирается выполнять задания только 1-й части экзамена), или повышенном (студент также собирается отвечать на вопрос части 2). Вопросы, выделенные курсивом, изучаются для ответа на 2-ю часть экзамена.