Вопросы к коллоквиуму
Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами. Правило суммы, правило включений-исключений. Разбиение множества.
Бинарные отношения на множестве. Свойства бинарных отношений. Отношение эквивалентности, отношение порядка. Теорема о свойствах классов эквивалентности.
Элементы комбинаторики. Правило произведения и правило суммы. Сочетания и размещения. Сочетания и размещения с повторениями. Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.
Булевы векторы и булевы функции от
переменных. Элементарные булевы функции.
Задание булевых функций формулами.
Основные равносильности.Существенные и фиктивные переменные булевых функций. Операция удаления (введения) фиктивной переменной.
Двойственные функции. Принцип двойственности.
Разложение булевых функций по переменным.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма функции.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма функции.
Постановка задачи о минимизации ДНФ. Минимальная ДНФ. Сокращенная ДНФ. Тупиковые ДНФ.
Алгоритм поиска сокращенных, тупиковых и минимальных ДНФ.
Представление функций в виде полинома Жегалкина (существование и единственность). Поиск полинома Жегалкина методом равносильных преобразований и методом неопределенных коэффициентов.
Класс функций, сохраняющих 0. Класс функций, сохраняющих 1. Класс самодвойственных функций. Класс монотонных функций. Класс линейных функций
Замыкание системы булевых функций. Свойства замыкания. Теорема о замкнутости классов Поста.
Полные системы булевых функций. Теорема о полноте двух систем. Примеры полных систем. Базисы.
Лемма о функции, не сохраняющей 0. Лемма о функции, не сохраняющей 1.
Лемма о несамодвойственной функции.
Лемма о немонотонной функции.
Лемма о нелинейной функции.
Критерий полноты системы булевых функций (теорема Поста).
P.S. Объем подготовки по каждому вопросу зависит от того, на каком уровне студент собирается сдавать коллоквиум: базовом (студент собирается выполнять задания только 1-й части коллоквиума), или повышенном (студент также собирается отвечать на вопрос части 2). Вопросы, выделенные курсивом, изучаются для ответа на 2-ю часть коллоквиума.
6. Подготовка к рубежному контролю
Рубежный контроль проводится в форме компьютерного теста. Тест проводится вне аудиторных занятий (дистанционно).
Схема начисления баллов за тест и учет начисленных баллов в рамках накопительной балльной системы приведены в таблице 8.
|
Таблица 8 | ||
|
Процент
|
Оценка за тест, выдаваемая системой |
Количество начисляемых баллов |
|
|
5 |
3 |
|
|
4 |
2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
2 |
0 |
правильно выполненных заданий
Тест состоит из 20 заданий и рассчитан на 40 минут. Темы заданий приведены в таблице 9.
|
Таблица 9 | ||
|
№ темы |
Название темы |
Элементы темы, вошедшие в тест |
|
1.2 |
Элементы комбинаторики |
Выборки. Сочетания и размещения без повторений и с с повторениями, перестановки. Правило произведения и правило суммы, формулы подсчета числа сочетаний и размещений. |
|
1.3 |
Булевы функции и способы их задания |
Булевы
функции. Задание булевой функции
таблицей истинности и вектором
значений. Элементарные функции. Задание
функций формулами. Основные равносильности
над множеством функций
|
|
1.4. |
Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы |
Двойственные функции. Принцип двойственности. Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ). |
|
1.6. |
Классы Поста и замыкание |
Полином Жегалкина. Функции, сохраняющие 0, 1. Самодвойственные, монотонные, линейные функции. Замыкание системы булевых функций. Замкнутость классов Поста. |
|
1.7 |
Полнота системы булевых функций |
Полнота системы булевых функций. Критерий полноты Поста. Базисы |
.
Для подготовки к рубежному контролю рекомендуется выполнить примерный вариант теста (табл. 10).
|
Таблица 10 | |||||||||||||||||
|
№ блока |
Формулировка задания |
Варианты ответа | |||||||||||||||
|
1 |
Сколько существует булевых векторов длины 11, у которых 1,3,4, 6 и 7 координаты равны 0? |
(1) 462 (2) 32 (3) 64 (4) 2048 | |||||||||||||||
|
2 |
Сколько существует булевых векторов длины 9, у которых ровно 5 координат равны 0? |
(1) 32 (2) 16 (3) 126 (4) 3034 | |||||||||||||||
|
3 |
Сопоставьте вектор значений каждой из следующих функций А. Б. В. Г. |
(1)
(2) (3)
(4)
| |||||||||||||||
|
4 |
Условию
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
5 |
Вектор
значений функции, заданной формулой
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
6 |
Если длина вектора значений функции равна 512, то число аргументов функции равно |
(1) 9 (2) 16 (3) 7 (4) 5 | |||||||||||||||
|
7 |
Вектор
значений функции, двойственной функции
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
8 |
Формула
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
9 |
Функция
СДНФ функции имеет вид |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
10 |
Функция
СКНФ функции имеет вид |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
11 |
Выберите
утверждение, верное для функции
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
12 |
Выберите самодвойственную функцию. |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
13 |
Выберите
вектор, предшествующий вектору
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
14 |
Выберите
условие, при выполнении которого
функция
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
15 |
Выберите монотонную функцию. |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
16 |
Полином
Жегалкина функции
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
17 |
Выберите нелинейную функцию. |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
18 |
Выберите
класс, которому принадлежит функция
|
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
19 |
Выберите полную систему функций. |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
|
20 |
Выберите систему функций, являющуюся базисом. |
(1)
(2)
(3)
(4)
| |||||||||||||||
;
;
;
удовлетворяет функция, заданная
формулой
,
равен
,
равен
двойственна формуле
задана таблицей
задана таблицей
.
,
,
,
,
.
немонотонна.
имеет вид
.
Ответы к примерному варианту теста приведены в таблице 11.
|
Таблица 11 | |||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
3 |
3 |
А.3 Б.1 В.4 Г.2 |
1 |
4 |
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
2 |
1 |
3 |
3 |
4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
4 |